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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Amiens}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire le plus simplement possible (sous forme de fractions irréductibles et sans radicaux au dénominateur) :

\[\dfrac13 + \dfrac27 - 3 \:; \quad 1 - 3\left(\dfrac13 - 1 \right)^2\:; \quad 1 - \dfrac{2}{\sqrt 3 - 1}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Développer, réduire et ordonner :

$(2 +3 x)^2$ ; 

$(2x - 3)^2$ ;

$(1 + 4x)(1 - 4x)$ ;

$(7x - 8)(8x - 1O)$ ;

$(3x - 1)^2 - 2(x + 4)^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Factoriser :

$(7x - 1)(4x + 8) - (9x - 4)(7x - 1)$ ;

$x^2 + 4x + 4$ ;

$1 -(x + 2)^2$ ;

$x^2 - 1- (3x + 3)$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre dans $\R$ chacune des équations ou inéquations
suivantes (pour l'inéquation, donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle) :

\[4x - 1 = 1 - \dfrac x3 \:;\qquad 4x^2  = (x+2)^2 \:;\qquad  1 - \dfrac x2 \geqslant 0.\]

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points : 

\begin{center}A(2~;~1),\qquad  B$(-2~;~3)$,\qquad  C(5~;~7).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Calculer les coordonnées du milieu I de [BC], puis celles du point D, symétrique de A par rapport à I. 

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? 

Le démontrer.
\item Placer le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \dfrac13\vect{\text{AC}}$.

La parallèle à (BC) passant par E coupe (AB) en F. 

Calculer AF. 
\item Déterminer une équation de (BC) et calculer les coordonnées du point G, intersection de (BC) avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : questions enchaînées}

\medskip

Milouda dit à Natacha: \og Prends un nombre $x$, ajoute-lui 4 ; divise le résultat par 5, multiplie par 2 le résultat obtenu, puis retranche 1. Tu obtiens un nombre $y$. \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre obtient-on en partant de $x = 1$ ?
\item Parmi les équations suivantes, quelle est celle qui décrit ce problème ?

\[\textbf{a.~~} \dfrac{2x +4}{5} - 1 = y\:; \qquad \textbf{b.~~} 2\dfrac{2x +4}{5} - 1 = y\]

Expliquer votre réponse en exposant le problème décrit par l'équation qui ne convient pas.

\item On s'intéresse au problème décrit par l'équation \textbf{b.~~}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que cette équation est équivalente à l'équation
$2x - 5y + 3 = 0$.
		\item Tracer la droite d'équation $2x - 5y + 3 =0$ en repère orthonormé, en graduant l'axe des abscisses de $-3$ à 7 (unité : 2 cm).
		
On utilisera une feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
\item \emph{Graphiquement}

Les constructions nécessaires doivent obligatoirement figurer sur le dessin.

	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre y obtient-on en partant de $x = 3,5$ ?
		\item De quel nombre $x$ est-on parti pour obtenir comme résultat $3$ ?
		\item Si on part de $x = -2$, le résultat sera-t-il positif ou négatif ?
		\item Quand $x$ prend des valeurs supérieures ou égales à $0$, dans quel intervalle trouve-t-on les valeurs correspondantes de $y$ ?
	\end{enumerate}
\item \emph{Par le calcul}
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ obtient-on $y = 0$ ? Placer le point A correspondant
sur la droite.
		\item On veut obtenir $y \geqslant 15$. Dans quel intervalle doit-on choisir $x$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}