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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
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\lfoot{\small juin 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles) :

\[A = \dfrac12 - \dfrac34 \times \dfrac{20}{9} ;\qquad  B = \dfrac{\dfrac15 - \dfrac12}{1 + \dfrac15}.\]

\item Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ est un entier relatif et $b$ un naturel :

\[C = 3\sqrt{12} - 2\sqrt{75} + \sqrt{27}.\]

\item Écrire $D$ sans radical au dénominateur :

\[D = \dfrac{2}{4\sqrt 3 - 7}\]

\item Donner un encadrement de $3 - 2\sqrt 5$ à $10^{-3}$ près. 

(On pourra utiliser $\np{2,2360} \leqslant \sqrt 5 \leqslant \np{2,2361}$.)
\item À tout nombre réel $x$, on fait correspondre le nombre réel $f(x)$ défini par

\[f(x) = (x - 2)^2 - 3x + 6.\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 10$.
		\item Calculer $f\left(-\sqrt 3\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de rayon 5 cm.

Soit [AB] un diamètre de ce cercle. Soit C l'un des points du
cercle tel que $\widehat{\text{BAC}}= 30\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Déterminer la nature des triangles AOC, ABC, BOC, en
justifiant les réponses.

En déduire BC.
\item Calculer AC.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un rectangle (A, B, C, D) tel que AB $= 3$ cm et BC $= 6,5$ cm.

Soit M le point appartenant au segment [AD] tel que AM $= 2$~cm.

\begin{enumerate}
\item Placer le point E tel que $\vect{\text{CE}} = \dfrac34 \vect{\text{CM}}$.

La droite $(\Delta)$ passant par E et parallèle à la droite (BC) coupe la droite (BM) en F.
\item Exprimer $\vect{\text{ME}}$ en fonction de $\vect{\text{MC}}$ (en justifiant par
le calcul).
\item En déduire $\dfrac{\text{ME}}{\text{MC}}$ ; puis calculer EF.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{AMB}}$ et en déduire une valeur approchée à $1\degres$ près de $\widehat{\text{AMB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité utilisée est le centimètre.

On considère un plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 2~;~- 3)$ ; B$(- 4~;~4)$; C(3~;~6).
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

Démontrer que ces vecteurs sont orthogonaux.
\item Calculer AB, puis BC.
\item Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer les coordonnées de I.
\item Soit D le symétrique de B par rapport à I. Déterminer les coordonnées de D.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, C, D) ? Justifier.
\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ passant par D et de vecteur directeur $\vect{\text{AC}}$.
\item  Les droites $(\Delta)$ et (AB) se coupent en E. 

Démontrer que A est le milieu de [BE].
\end{enumerate}
\end{document}