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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Amiens}}
\rfoot{\small{juin 1990}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens juin 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'expression

		\[A = (x + 7)^2 - 3(x + 7).\]

$\bullet~~$Factoriser $A$.

$\bullet~~$Résoudre l'équation $(x + 7)(x + 4) = 0$.

$\bullet~~$Développer et réduire $A$.

		\item Soit $B = x^2 + 11x + 28$.

$\bullet~~$Calculer $B$ pour $x = 0,1$ ;\: $x = - 4$ ;\: $x = \dfrac{2}{3}$.

$\bullet~~$Calculer la valeur exacte de $B$ pour $x = \sqrt{3}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près par défaut.
\end{enumerate}
\item Les bureaux d'une agence sont ouverts de 8~h à 19~h. Heure après heure, la standardiste enregistre le nombre d'appels téléphoniques qu'elle reçoit.

À la fin d'une journée, elle commence à établir le bilan reproduit ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1 &2 &3\\ \hline
\scriptsize Heures d'ouverture&
\scriptsize Nombre d'appels enregistrés dans l'heure&
\scriptsize Nombre total d'appels enregistrés depuis le début de la journée\\ \hline
8~h-9~h&8&8\\ \hline
9h-10~h &13 &21\\ \hline
10~h-11~h &19 &40\\ \hline
11~h-12~h &27 &67\\ \hline
12~h-13~h &36 &103 \\ \hline
13~h-14~h &47 &150 \\ \hline
14~h-15~h &38 &188 \\ \hline
15~h-16~h &24&\\ \hline
16~h-17~h &20&\\ \hline
17~h-18~h &12&\\ \hline
18~h-19~h &6&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Compléter la colonne 3 du tableau ci-avant qui représente le nombre total d'appels enregistrés depuis le début de la journée.
		\item Compléter le diagramme ci-après représentant le nombre d'appels en fonction de l'heure

\begin{center}
\psset{xunit=0.78cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(14,52)
\uput[r](0,51){Nombre d'appels horaires}
\uput[u](19.5,0){Heures}
\uput[d](1.5,0){\tiny 8 à 9} \uput[d](2.5,0){\tiny 9 à 10} \uput[d](3.5,0){\tiny 10 à 11} \uput[d](4.5,0){\tiny 11 à 12} \uput[d](5.5,0){\tiny 12 à 13} \uput[d](6.5,0){\tiny 13 à 14} 
\uput[d](7.5,0){\tiny 14 à 15} \uput[d](8.5,0){\tiny 15 à 16} \uput[d](9.5,0){\tiny 16 à 17} \uput[d](10.5,0){\tiny 17 à 18 } \uput[d](11.5,0){\tiny 18 à 19}
\psframe(1,0)(2,8)\psframe(2,0)(3,13)\psframe(3,0)(4,19)\psframe(4,0)(5,27)
\psframe(5,0)(6,36)\psframe(6,0)(7,47)\psframe(7,0)(8,38)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(14,52)
\end{pspicture}
\end{center}

	\item $\bullet~~$Quel est le nombre total d'appels enregistrés ce jour-là ?
	
$\bullet~~$ Combien d'appels ont été enregistrés avant midi ?

$\bullet~~$Quel pourcentage du nombre total d'appels enregistrés pendant cette journée représente le nombre d'appels enregistrés avant midi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un repère orthonormal (O , I, J) (unité : le cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer, dans ce repère, la droite $D$ d'équation $y = - 3x$ et
la droite $D'$ d'équation $y = ~x + 5$.
3
\item Montrer que ces droites sont perpendiculaires.
\item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
\item On appelle A le point d'intersection de D'avec l'axe des ordonnées, E le point de coordonnées $(-1,5~;~4,5)$.

Calculer l'aire du triangle OEA.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
ABCDEFGH est un cube de côté 10 cm. Comme indiqué sur le dessin en perspective de ce cube, les points P, M et N sont tels que GP = BN = EM $= 4$~cm.

K est le projeté orthogonal de M sur l'arête [HG] et L est le projeté orthogonal de M sur l'arête [AB].

On se propose d'étudier le triangle MNP{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère PGBN est un parallélogramme.

 En déduire la mesure exacte de PN.
\item Calculer KP et LN.

En déduire les mesures exactes de MP et NM.

Le triangle MNP est-il rectangle en M ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.5,6)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.5)(3.9,4.1)%ABFE
\psline(3.9,0.5)(5,1.7)(5,5.3)(3.9,4.1)%BCGF
\psline(5,5.3)(1.9,5.3)(0.3,4.1)%GHE
\psline(3.8,5.3)(1.5,4.1)(2.7,0.5)%%PMN
\psline(3.1,5.3)(1.5,4.1)(1.5,0.5)%KML
\psline(3.9,0.5)(5,5.3)%BG
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.5)(1.9,1.7)(5,1.7)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.7)(1.9,5.3)%DH
\psline[linestyle=dashed](3.8,5.3)(2.7,0.5)%PN
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.8,5.4)(5,5.4)\uput[u](4.4,5.4){4 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,4)(1.5,4)\uput[d](0.9,4){4 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.7,0.4)(3.9,0.4)\uput[d](3.3,0.4){4 cm}
\psframe(1.5,0.5)(1.7,0.7)\psline(2.9,5.15)(3.1,5.15)(3.3,5.3)
\uput[dl](0.3,0.5){A} \uput[dr](3.9,0.5){B} \uput[r](5,1.7){C} \uput[ul](1.9,1.7){D}
\uput[l](0.3,4.1){E} \uput[r](3.9,4.1){F} \uput[ur](5,5.3){G} \uput[u](1.9,5.3){H}
\uput[u](3.1,5.3){K} \uput[d](1.5,0.5){L} \uput[ul](1.5,4.1){M} \uput[dl](2.7,0.5){N}
\uput[ul](3.8,5.3){P}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un angle $\widehat{x\text{O}y}$ de $30\degres$.

Placer les points A, B, H suivants :

$\bullet~~$A est le point de la demi-droite [Ox) tel que OA = 3 cm.

$\bullet~~$B est le point de la demi-droite [Oy) tel que OB = 2 cm.

$\bullet~~$H est le projeté orthogonal de B sur la droite (OA).

Pour les calculs on utilisera, si besoin, les données suivantes :

\[\sin 30\degres = \dfrac{1}{2}\qquad \cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad \text{et}\: \tan 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.\]

\item Déterminer la valeur exacte de BH.
\item Tracer le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon OA. La tangente en A au cercle $(\mathcal{C})$ coupe [O$y$) en D.

Calculer la valeur exacte de AD.
\item En considérant les triangles OBH et ODA, écrire les rapports
égaux à $\dfrac{\text{OA}}{\text{OH}}$ (justifier).

En déduire que le triangle OAD est un agrandissement du triangle ORB dans le rapport $\sqrt{3}$.
\item En déduire le nombre par lequel il faut multiplier l'aire du triangle OHB pour obtenir l'aire du triangle OAD.
\item La demi-droite [O$y'$) telle que $\widehat{y\text{O}y'} = 180\degres$ coupe le cercle
$(\mathcal{C})$ en E.

On considère la rotation de centre O qui transforme A en E.

Construire l'image F du point D par cette rotation.

En déduire la nature et l'aire du triangle OEF.
\end{enumerate}
\end{document}