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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $A = \dfrac87 \times \dfrac{15}{12} - \dfrac47$.

Calculer $A$. Le résultat obtenu sera donné sous forme d'une fraction aussi simplifiée que possible.
\item On donne $B = 3\sqrt{75} -7\sqrt{27} + 4\sqrt{48}$.

Écrire $B$ sous la forme $b\sqrt 3$ où $b$ est un nombre entier.
\item On donne $C  = \dfrac{2,3 \times 10^2- 0,17 \times 10^3}{0,5 \times 10^{-1}}$.

Calculer $C$. Le résultat sera donné sous forme décimale.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire :
\[(2x - 5)(2x + 5)+3(x + 5)\]
\item Factoriser : $(4x - 5) (5x + 7) - (4x - 5) (4x + 5)$.
\item Résoudre l'équation: $(x + 2) (4x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une vendeuse a vendu en une semaine $80$ paires de chaussures de femme. Elle enregistre le nombre de paires vendues en fonction de la pointure et commence à établir le tableau et le diagramme reproduits ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le diagramme, combien a-t-il été vendu de paires de chaussures :
	\begin{enumerate}
		\item de pointure 36 ?
		\item de pointure 38 ?
(écrire ces résultats dans le tableau).
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre de paires de chaussures de pointure 41 qui ont été vendues.

Compléter: 
	\begin{enumerate}
		\item le tableau,
		\item le diagramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{Tableau}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pointure&35 &36 &37 &38 &39 &40 &41\\ \hline
Nombre de paires de chaussures vendues dans cette pointure&8&& 7&&10&21&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Diagramme}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(8.5,25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=35,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(8.5,25)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](1,0)(1,8)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](2,0)(2,18)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](3,0)(3,7)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](4,0)(4,6)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](5,0)(5,1)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](6,0)(6,21)
\multido{\n=1+1,\na=35+1}{7}{\uput[d](\n,0){\na}}
\uput[u](8,0){Pointure}\uput[r](0,24){Nombre de paires de chaussures vendues}
\end{pspicture}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que: AC $= 4$ cm et BC $= 8$ cm.

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
\item Quelle est la valeur de $\cos \widehat{\text{BCA}}$ ?

Quelle est la mesure de $\widehat{\text{BCA}}$ ?
\item Soit E le milieu du segment [BC). 

Quelle est la longueur de [AE] ? Quelle est la nature du triangle ACE?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On donne un triangle OSM, rectangle en O, dont le côté [OM] mesure 6 cm et le côté [OS] mesure 30 cm.

Calculer la longueur de [SM].

(On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à un
centième de centimètre près.)
\item Calculer l'aire d'un disque de rayon 6 cm.

(On indiquera la formule utilisée et on donnera une valeur approchée à un centième de centimètre carré près.)
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]

\item  Un cône de révolution $(C)$ a pour hauteur [SO] qui mesure $30$~cm et pour base un disque de rayon OH égal à $6$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de ce cône.
		
(On rappelle la formule $V = \frac13 \times B \times h$
où $B$ est l'aire du disque de base et $h$ la hauteur du cône).
		\item On coupe le cône $(C)$ par un plan $(P)$ parallèle à la base. On obtient un cône $(C')$ de sommet S et de base $(D')$.
		
Le plan $(P)$ coupe [SM] en M$'$ et [SO] en O$'$ tel que SO$'= 10$ cm.

Calculer 

\begin{itemize}
\item $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}$ ;
\item En déduire SM$'$ et O$'$M$'$.
\item Par quel nombre faut-il multiplier l'aire du disque $(D)$ pour obtenir l'aire du disque $(D')$ ?
\item Par quel nombre faut-il multiplier le volume du cône $(C)$ pour obtenir le volume du cône $(C')$ ?
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,7.5)
\psellipticarc(0,0)(1.4,0.9){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.4,0.9){0}{180}
\psellipticarc(0,5)(0.48,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,5)(0.48,0.3){0}{180}
\psline(-1.4,0.1)(0,7.5)(1.4,0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,7.5)(0,0)(1.4,0)%SOM
\psline[linestyle=dashed](0,5)(0.48,5)%O'M'
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\uput[u](0,7.5){S}\uput[l](0.1,5){\small O$'$}\uput[r](0.48,5){\small M$'$}
\uput[l](0,0){\small O}\uput[r](1.4,0){\small M}\uput[dl](-0.48,5){\small $(D')$}
\uput[dl](-1.4,0){\small $(D)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Pour organiser un voyage, un responsable de club demande leur tarif à trois compagnies de location de cars :

\begin{itemize}
\item Compagnie Alpha : pas de versement à la réservation,

\phantom{ Compagnie Alpha :}
14 F par kilomètre parcouru.
\item Compagnie Bravo : $900$ F à la réservation,

\phantom{ Compagnie Bravo :}plus 5 F par kilomètre parcouru.
\item Compagnie Charlie: \np{1200} F à la réservation,

\phantom{ Compagnie Alpha :} plus $3$ F par kilomètre parcouru. 
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de kilomètres parcourus	&60 km	&130 km	&... km\\ \hline
Tarif Alpha						&840 F 	&... F 	&... F\\ \hline
Tarif Bravo						&... F 	&... F	&\np{1650} F\\ \hline
Tarif Charlie					&... F	&... F	&\np{1650} F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $A$ le prix à payer pour un trajet de $x$ kilomètres si on a choisi la compagnie Alpha,

\phantom{On appelle} $B$ le prix à payer pour un trajet de $x$ kilomètres si on a choisi la compagnie Bravo,

\phantom{On appelle} $C$ le prix à payer pour un trajet de $x$ kilomètres si on a choisi la compagnie Charlie.

Exprimer $A, B, C$ en fonction de $x$.
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
On en placera l'origine en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré.

-- L'axe des abscisses est gradué de telle sorte que : 1 cm
représente 10 km parcourus. 

-- L'axe des ordonnées est gradué de  telle sorte que 1 cm représente 100 F{}.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(2.5,2.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(2.5,2.8)
\uput[u](2.4,0){km}
\uput[r](0,2.7){Francs}
\end{pspicture}
\end{minipage}

Représenter dans ce repère :

-- la droite $D_1$ d'équation $y = 14x$,

-- la droite $D_2$ d'équation $y = 5x + 900$,

-- la droite $D_3$ d'équation $y = 3x + \np{1200}$.
\item Calculer les coordonnées du point E, intersection des droites $D_1$ et $D_2$.
\item Déterminer graphiquement la compagnie qu'il est avantageux de choisir quand on prévoit de parcourir $160$ km (indiquer en pointillé sur le graphique ce qui justifie la réponse).
\item Déterminer graphiquement la distance maximale que l'on pourra parcourir quand on dispose de \np{1600} F{}.

On précisera la compagnie utilisée (indiquer en pointillé sur le graphique ce qui justifie la réponse).
\end{enumerate}
\end{document}