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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Amiens}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge{\textbf{\decofourleft~Brevet - Amiens 
juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer: $A = \left(\sqrt 7 -\sqrt 3\right)^2$.
		\item Simplifier: $B = \left(5 - \sqrt 2\right)\left(5 + \sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}	
\item Écrire sous la forme $a \sqrt b$ ($a$ et $b$ désignant des entiers) :

\[C = \sqrt{75} + \sqrt{48}.\]

\item Écrire sous la forme d'une fraction aussi simple que possible: 20
	\begin{enumerate}
		\item $D = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{45}}$
		\item $E = \dfrac{5^2 \times 10^{-5}}{2^5 \times 10^{-2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire: $(5x + 3)(x + 1)$
		\item Écrire: $(3x + 2)^2 - (2x + 1)^2$ sous forme d'un produit de facteurs.
		\end{enumerate}	
\item ABC est un triangle rectangle en A.

$x$ désigne un nombre positif.

On donne BC $= 3x + 2$

\phantom{On donne }AB $= 2x + 1$.

Exprimer AC en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la figure $\mathcal{F}$ définie par les points A, B, C, D, O ci-dessous, et le point E sur la droite (OD) tel que OD = DE.

D 0 sur le dessin


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(2.2,2.4)%ODCA
\psline(0.2,2.4)(1.2,3.4)(2.2,2.4)%ABC
\psline(2.2,0.2)(10,0.2)%ODE
\psline(4.2,0.1)(4.2,0.3)%E
\uput[l](0.2,2.2){A} \uput[u](1.2,3.4){B} \uput[r](2.2,2.4){C}
\uput[d](2.2,0.2){D} \uput[d](4.2,0.2){E} \uput[d](0.2,0.2){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire $\mathcal{F}$ et construire la figure $\mathcal{F}'$ image de $\mathcal{F}$ dans la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$.
\item Construire la figure $\mathcal{F}''$ image de $\mathcal{F}'$ dans la translation de vecteur
$\vect{\text{AD}}$.
\item Peut-on passer de $\mathcal{F}$ à $\mathcal{F}''$ par une translation ? Si oui, laquelle ?
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}



\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les triangles rectangles ABD et AEC dessinés ci-après, et on connaît les longueurs (en millimètres)

\begin{center}AB $= 40$ ; AD $= 50$ ; AE $= 60$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BD.
\item Calculer l'aire du triangle ABD.
\item Exprimer, en fonction des côtés du triangle, la tangente de l'angle $\widehat{\text{A}}$ 
	\begin{enumerate}
		\item dans le triangle ABD,
		\item dans le triangle AEC.·
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(0,-1)(7,5.3)
%\psgrid
%\pscircle(3,0.5){2.5}
%\psarc(0.5,0.5){4}{30}{50}
\pspolygon(0.5,0.5)(6.5,0.5)(6.5,5)%AEC
\uput[l](0.5,0.5){A} \uput[r](6.5,0.5){E} \uput[r](6.5,5){C} \uput[dr](5.5,0.5){D}
\psline(3.7,2.9)(5.5,0.5)%BD
\rput{-144}(3.7,2.9){\psframe(0.25,0.25)}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.42,0.7)(3.6,3.1)\rput{36}(2.01,2.15){40 mm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.4)(5.5,0.4)\uput[d](3,0.4){50 mm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,-0.2)(6.5,-0.2)\uput[d](3.5,-0.2){60 mm}
\psframe(6.5,0.75)(6.25,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Vérifier par le calcul que la longueur de CE est 45 mm. 

Calculer l'aire du triangle AEC.

Soit $k = \dfrac{\text{BD}}{\text{CE}}$ et $K = \dfrac{\text{aire ABD}}{\text{aire AEC}}$.

Écrire $k$ et $K$ sous forme de fractions simplifiées et vérifier que $K = k^2$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère une pyramide régulière dont la base est un carré ABCD, dont le sommet est le point S, et qui est représentée ci-après en perspective cavalière. 

On sait que AB mesure 20 cm et que la hauteur SO mesure 25 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-3.2,-1)(3.2,5.3)
%\psgrid
\psline(0,5)(-2.8,-0.8)(1.3,-0.8)(2.8,0.8)(0,5)(1.3,-0.8)%SABCSB
\pspolygon[linestyle=dashed](-2.8,-0.8)(-1.2,0.8)(2.8,0.8)(2.8,0.8)%ADCA
\psline[linestyle=dashed](1.3,-0.8)(-1.2,0.8)(0,5)(0,0)%BDSO
\psline(-1.6,1.7)(0.78,1.7)(1.7,2.5)%A'B'C'
\pspolygon[linestyle=dashed](-1.6,1.7)(-0.7,2.5)(1.7,2.5)%A'D'C'A'
\uput[l](2.8,-0.8){A} \uput[r](1.3,-0.8){B} \uput[r](2.8,0.8){C} \uput[ur](-1.2,0.8){D}
\uput[l](-1.6,1.7){A$'$} \uput[dr](0.78,1.7){B$'$} \uput[ur](1.7,2.5){C$'$} \uput[ul](-0.7,2.5){D$'$}
\uput[d](0,0){O} \uput[ur](0,2){O$'$}\uput[u](0,5){S}
\psline(0,0.2)(0.2,0.25)(0.2,0.03)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $V$ de la pyramide.
\item On coupe la pyramide par un plan parallèle au plan de la base ABCD.

Ce plan coupe [SA] en A$'$, [SB] en B$'$, [SC] en C$'$, [SD] en D$'$ et
[SO] en O$'$ tel que $\dfrac{\text{SA}'}{\text{SA}} = \dfrac35$.

Après avoir énoncé la propriété utilisée, calculer:
	\begin{enumerate}
		\item SO$'$ et A$'$B$'$,
		\item le volume $V'$ de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Une société de transport décide d'étudier à partir du mois de juin la rentabilité de chacun de ses autocars.

Il y a deux sortes de dépenses: des charges fixes mensuelles et des frais de carburant.

Les recettes sont constituées par la facturation à $7,50$ F le km de chaque voyage effectué par un autocar.

Voici le tableau de données pour un autocar:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Charges fixes en F&Consommation en litres par 100 km&Distance parcourue en km&Prix du litre de carburant en F&Recette pour 1~km en F\\ \hline
Juin &\np{3300}&30&\np{2500}&3&7,50\\ \hline
Juillet &\np{3300}&30&$x$&3&7,50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A.} \emph{ Dépenses et recettes en juin}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en litres la quantité de carburant consommé en juin parcet autocar.
\item Calculer le montant des dépenses en juin (charges fixes augmentées des frais de carburant consommé en juin).
\item Calculer la recette en juin pour cet autocar.
\item Calculer pour cet autocar le bénéfice réalisé en juin (recette
mensuelle à laquelle on retire les dépenses).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B.} \emph{Dépenses el recettes en juillet}

\medskip

Le nombre $x$ de kilomètres est inconnu, les autres données sont identiques à celles de juin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $Q$ la quantité de carburant consommé en juillet. 

Exprimer $Q$ en fonction de $x$.
\item On appelle $y$ le montant des dépenses en juillet. 

Démontrer que $y = 0,9x + \np{3300}$.
\item On appelle $z$ la recette de juillet. Exprimer $z$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C.} \emph{Graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal, construire les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives :

$y = 0,9x + \np{3300}$ et $y=7,5x$.

(Utiliser une feuille de papier millimétré. Prendre en abscisse 1 cm pour $200$ km et en ordonnée 1 cm pour \np{1000} F{}.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer en utilisant les équations de $\left(D_1\right)$ et de $\left(D_2\right)$ que les points A(\np{2500}~;~\np{5550}) et B(\np{2500}~;~\np{18750}) sont respectivement sur $\left(D_1\right)$ et sur $\left(D_2\right)$.
		\item En utilisant les parties A et B du problème, expliquer comment ce résultat peut être retrouvé.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en résolvant une équation, le nombre de km pour lequel les dépenses et les recettes s'équilibrent (sur un mois pour un autocar).
		\item À l'aide du résultat précédent et d'une lecture graphique, trouver le nombre de km que doit parcourir l'autocar pour être rentable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D.}

\medskip

On suppose que le prix du carburant subit une augmentation de $50\,\%$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, dans les mêmes conditions, le montant y des dépenses mensuelles pour un parcours de $x$ kilomètres.
\item Les recettes étant inchangées, déterminer le nombre de km à partir duquel les recettes l'emportent sur les dépenses. (Ce nombre doit être entier).
\end{enumerate}
\end{document}