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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Amiens}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Amiens septembre 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier
\[E(x) = \dfrac{\left(x^2 + 6x + 9\right) (2 + x)}{\left(4 - x^2\right)(x + 3)}.\]

\item Soit $E'(x)$ la nouvelle fraction.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on 
\[E'(x) = 0 \:;\quad E'(x) =  1 \: ; \quad E'(x) = - 1 ?\]
\item Dans un repère orthonormé, l'unité étant le centimètre, on représente les variations de
\begin{center}$y_1 = x + 3$\qquad  et \qquad  $y_2 = 2 - x$.\end{center}

Quelle est la position relative de ces droites ?

Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Quelle solution du 2. retrouve- t-on ?

Pourquoi ?
\item La droite représentative des variations de la-première fonction coupe O$y$ en A et la droite représentative des variations de la seconde fonction coupe O$x$ en B.

Déterminer la longueur du segment [AB] (à 1 mm près par défaut).

Quel est le coefficient directeur de AB ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un carré ABCD, de côté $a$ ; soit M le milieu de [BC].

(AM) coupe le prolongement de [DC] en N.

La perpendiculaire en A à (AM) coupe les prolongements de [CD] et de [CB] respectivement en Q et P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\begin{center}DQ $\cdot$ BP $= a^2$. \end{center}
\item Montrer que (QM) et (PN) sont perpendiculaires.
\item Montrer que le triangle AQM est isocèle ; calculer la longueur de ses côtés.
\item Montrer que la quadrilatère AMCQ est inscriptible et déterminer la position du centre du cercle circonscrit et la valeur du rayon de ce cercle.
\item Calculer le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{\text{MQC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}