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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amiens}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle ~\decofourright\\[7pt] Amiens septembre 1971}}
\end{center}
\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne l'expression algébrique :
\[E(x) =(3x + 4)^2 - (2x - 3)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer $E(x)$, réduire et ordonner le polynôme obtenu.
\item Factoriser $E(x)$.
\item Calculer les valeurs numériques de $E(x)$ pour $x = - 1$ et pour $x = 0$.
\item Résoudre l'équation $E(x) = 0$.
\item Dans un repère orthonormé, construire les droites
\begin{center}$y = 5x + 1$\quad et \quad $y = x + 7$.\end{center}

Déterminer par le calcul les coordonnées du point I, intersection de ces deux droites.

Vérifier ce résultat sur la représentation graphique.
\item Calculer la valeur numérique de $\sqrt{E}$ quand on remplace $x$ par l'abscisse de I.

Pouvait-on prévoir le résultat obtenu ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un segment [AB] de longueur AB $= 2a$ ; soit O le milieu de ce segment.

On place sur la médiatrice de [AB] un point C tel que OC $= 2a$ ; on appelle D le pied de la perpendiculaire menée de B sur AC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABD et AOC sont semblables.

Calculer AC.

En déduire le rapport de similitude et calculer, en fonction de $a$, les longueurs AD et BD.
\item On prend, sur la médiatrice de [AB], un point E tel que OE $= a$ (le point O étant situé entre E et C).

Que peut-on dire du quadrilatère AEBD ?

Montrer que [DE) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$.
\item On prolonge [DA] d'une longueur AF = DA ; montrer que la droite (DE) est la médiatrice de [FB] : quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{DBF}}$.
\item Soit I le point d'intersection de (DE) avec (AB).

Calculer les longueurs IA et IB en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}