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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit le polynôme
\[y^2 - (x - 2)^2 - 2(x - 1) (y + x - 2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer ce polynôme en un produit de deux facteurs ; soit $A$ et $B$ ces deux facteurs.
\item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ a-t-on simultanément $A = 0$ et $B = 0$ ?
\item Étudier et représenter graphiquement les variations des fonctions 
\begin{center}$y= - x + 2$\quad et \quad $y = 3x- 4$\end{center} 
dans un système d'axes de coordonnées rectangulaires.

Soit $(D)$ et $(D')$ les droites obtenues.

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection I?
\item $(D)$ coupe $xx'$ en M et $(D')$ coupe $yy'$ en N.

Quelles sont les coordonnées de M et de N et celles du milieu P de [MN] ?
\item Quelle est l'équation de la parallèle à la droite $(D)$ menée par P ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un demi-cercle $\left(\mathcal{C}_1\right)$ de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 4a$ et le demi-cercle $\left(\mathcal{C}_1\right)$  de diamètre [AO] et de centre I situé dans le même demi-plan que $\left(\mathcal{C}_1\right)$ par rapport à la droite (AB).

Du point B, on mène la tangente au demi-cercle $\left(\mathcal{C}_2\right)$.

On désignera par E son point de contact avec $\left(\mathcal{C}_2\right)$ et par F son point d'intersection avec le demi-cercle $\left(\mathcal{(}_1\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AF) et (IE) sont parallèles.

En déduire que (AE) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAF}}$.
\item (AE) coupe le demi-cercle $\left(\mathcal{C}_1\right)$ en M.

Démontrer que E est le milieu de [AM].

(OM) coupe (BE) en G. Que représente le point G pour
le triangle (AMB) ?

Calculer OG en fonction de $a$.
\item Calculer la mesure du segment [BE] en fonction de $a$.
\item Démontrer que les triangles (BIE) et (BAF) sont semblables.

Calculer leur rapport de similitude.

En déduire la mesure de [AF] et de [BF] en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}