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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1973}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions polynômes A, B et C, applications de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x + 3) \left(16x^2 - 1\right)\\
B(x) &=&(6x + 3) \left(4x^2 - 9\right)\\
C(x) &=& 6x^2 - 9x
\end{array}\]

Décomposer $A(x), B(x)$ et $C(x)$ chacun en un produit de facteurs du premier degré au plus.
\item Quel est l'ensemble, $F$, des valeurs de $x$ pour
lesquelles le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ peut être calculé ?

Quel est l'ensemble, $G$, des valeurs de $x$ pour lesquelles
le quotient $\dfrac{6x^2 - 9x}{4x}$
peut être calculé ?

On considère alors les applications

\[\begin{array}{l l c l}
&F&\to& \R,\\
f :&x&\longmapsto&\dfrac{A(x)}{B(x)} = f(x)
\end{array}\quad  \text{et} \quad  \begin{array}{l l c l}
&G&\to& \R,\\
g :& x& \longmapsto&g(x) = \dfrac{6x^2 - 9x}{4x}
\end{array}\]

Simplifier les écritures de $f(x)$ et $g(x)$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ peut-on calculer le produit $p(x) = f(x) \times g(x)$ ?
\item On considère la fonction affine
\[\begin{array}{l l c l}
&\R & \to&\R,\\
h :&x&\longmapsto&2x - 1.
\end{array}\]

Représenter graphiquement la fonction $h$ dans un
repère \Oij{} du plan.

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $h(x) = 0$ ?

Calculer, pour la valeur trouvée, $f(x)$ et $g(x)$.

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $h(x) = 1$ ?

Calculer, pour la valeur trouvée, $f(x)$ et $g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit, dans un plan euclidien, (ABC) un triangle rectangle en A, ($\Delta$) la parallèle menée par A à la droite (BC), ($\Delta'$) la parallèle menée par B à la droite (CA), ($\Delta''$) la parallèle menée par C à la droite (AB).

On pose :
\begin{center}
$\{\text{J}\} =  (\Delta') \cap (\Delta''), \quad  \{\text{K}\} =  (\Delta'') \cap (\Delta)$\quad et \quad $\{\text{L}\} =  (\Delta) \cap (\Delta')$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'équipollence des bipoints (B, C), (A, K) et (L, A).
\item On considère la médiatrice du segment [LK].

Montrer que cette médiatrice est aussi la hauteur issue de A dans le triangle (ABC).

On désigne par H la projection orthogonale de A sur (BC).
\item Soit H$'$ le symétrique du point H par rapport au point A.

Démontrer que le quadruplet (H, K, H', L) définit un losange.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $S$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite (AC).

Montrer que J $= S$(K).
		\item Soit $S'$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite (AB).

Montrer que J $= S'$(L).
		\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle (JKL) ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} {\small La quatrième question est indépendante des deuxième et troisième question.}
\end{document}