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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix--Marseille septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

Donner
implifier II(x). Résoudre

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(x) = (5x - 10)(x - 1) - \left(x^2 - 4\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Calculer $f(2),\:f(0), \:f\left(\sqrt 2\right)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction de $\R$ vers $\R$ définie par :
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{(2x -  4)(x + 1)}.\]
Donner le  domaine de définition de $h$.

Simplifier $h(x)$.

Résoudre dans $\R$ les équations :
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = \dfrac12$ ;
		\item $h(x) = \dfrac{11}{6}$.
	\end{enumerate}
\item On considère un repère \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans ce repère les représentations graphiques $D$ et $D'$ des
fonctions :

\[u : \left\{\begin{array}{l c l}
\R& \to &\R\\
x&\longmapsto&4x + 3
\end{array}\right.\qquad 
v : \left\{\begin{array}{l c l}
\R& \to &\R\\
x&\longmapsto&x + 1
\end{array}\right.\]

		\item Déterminer les coordonnées du point A 
d'intersection de $D$ et $D'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip \textbf{Géométrie} \medskip


\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les
points A, B, C, D définis par :

\[\vect{\text{OA}} = - 3\vect{\imath}, \quad \vect{\text{OB}} = 5\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = 10\vect{\imath}, \quad \vect{\text{OD}} = 2\vect{\imath} - 4\vect{\jmath}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D ?

Placer ces points sur la figure.
		\item Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OD}}$.

Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item Montrer que (A, B, C, D) définit un parallélogramme.

Calculer le coordonnées du centre de symétrie M de ce parallélogramme.
\item On désigne par I le symétrique de O par rapport à M.

Calculer les coordonnées de M.

Vérifier que l'on a :
	\begin{enumerate}
		\item $10\vect{\text{OA}} + 3\vect{\text{OC}} =  \vect{0}$.
		\item $3\vect{\text{IA}} + 10\vect{\text{IC}} =  \vect{0}$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est l'image de la droite (OD) dans la symétrie de centre M ?

La droite (OD) coupe la droite (AB) en E.

La droite (IB) coupe la droite (CD) en F.

Quelle est la nature du quadrilatère défini par (D, E, B, F) ?
\end{enumerate}
\end{document}