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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\smallskip

$x$ désignant un réel, soit 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x - 3)(2x - 1) -(2x - 6)(x + 2) + \left(x^2 - 9\right) \: \text{et}\\
g(x)&=&(2x - 1)^2 -(x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item On considère la fonction rationnelle $q$ de $\R$ vers $\R$ définie par 
\[q(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$ de $q$ (ensemble des valeurs réelles de $x$ pour lesquelles on peut calculer $q(x)$).
		\item $x$ désignant un élément de D. donner une expression simplifiée de $q(x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle $q'$ définie sur
$\mathcal{D}$ par
\[q'(x) = \dfrac{x - 2}{3x + 1}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image de $1 + \sqrt 3$ par $q'$.

Mettre la réponse sous la forme $a + b \sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont des
rationnels.

Sachant que l'on a $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$,  donner de
$q'\left(1 + \sqrt 3\right)$ un encadrement à $10^{-2}$ près.
		\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation $q'(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé \Oij{} tracer les représentations graphiques des fonctions affines $f_1$ et $f_2$ définies par
\begin{center}$f_1 :x \longmapsto  f_1(x) =x - 2$\: et  $f_2 : x \longmapsto  f_2(x) = 3x +1$.\end{center}

Retrouver, d'après le graphique, la solution de la question 3. b.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

Dans un plan (P) rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points
\begin{center}A(2~;~3),\quad B$(- 2~;~1)$\quad  et \quad C$(5~;~- 3)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les vecteurs $\vect{\text{OA}}, \: \vect{\text{OB}}$ et $\vect{\text{OC}}$ sous forme de combinaisons linéaires de $\vect{\imath}$ et de $\vect{\jmath}$.
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$, \: $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.

Montrer que le triangle (ABC) est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point D tels que le
bipoints (A, C) et (B, D) soient équipollents.

Quelle est la nature du quadrilatère défini par (A. B, D, C) ?
\item Soit M le milieu de [AC] ; P le symétrique de D par rapport à M.

Montrer que A est le milieu du bipoint (B, P).
\item Dans le triangle ABC déterminer la tangente de
l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

En déduire à l'aide de l'extrait de table ci-dessous, une valeur approchée à une unité près par défaut de cet écart angulaire (unité : le degré).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle	&30 		&31			&32\\ \hline
Tangente&\np{0,5774}&\np{0,6009}&\np{0,6249}\\ \hline \hline
Angle	&33 		&34 		&35\\ \hline
Tangente&\np{0,6494}&\np{0,6745}&\np{0,7002}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}