\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Amiens septembre 1977},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

Soit $f$ la fonction polynôme définie sur $\R$ par:
\[f(x) =(5x - 3)^2 - 4.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'après développement et réduction des termes semblables, $f(x)$ peut se mettre sous la forme :

\begin{center}$f(x) = ax^2 + bx + c$ \quad où $a, b, c$\: sont des entiers.\end{center}
\item Factoriser $f(x)$.

Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$.
\item Calculer $f(0) ;\quad f(0,04) ;\quad f\left(\dfrac12\right) ;\quad f\left(\sqrt 3\right)$.

On donne: $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.

Cela permet-il de donner de $f\left(\sqrt 3\right)$ un encadrement d'amplitude (ou de largeur) 0,01 ?

Justifier votre réponse.

Donner l'approximation décimale d'ordre 1 (nombre décimal comportant 1 chiffre après la virgule) par défaut de $f\left(\sqrt 3\right)$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ désignant toujours la fonction précédente, quel est l'ensemble $\mathcal{E}$
des valeurs de $x$ pour lesquelles on peut calculer le quotient
\[q(x) = \dfrac{x^2 - 1}{f(x)}.\]
$x$ étant élément de $\mathcal{E}$, simplifier l'écriture de $q(x)$.
\item On pose, pour $x$ réel différent de $\dfrac15$ :
\[h(x) = \dfrac{x + 1}{5(5x - 1)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $h(x) = 1$.
		\item Existe-t-il des réels tels que l'on ait $h(x) = \dfrac{1}{25}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\emph{Illustrer le problème suivant par une figure soignée.\\
Toutes vos réponses doivent être justifiées.}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé 
\Oij, on donne les points A et B définis par 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}$\qquad  et \qquad $\vect{\text{OB}}  =7\vect{\imath}+ 4\vect{\jmath}$\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des points A et B ?

Exprimer le vecteur $\vect{\text{AB}}$ à l'aide des vecteurs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.

Montrer que OAB est un triangle rectangle.
\item Soit M le milieu du segment [AB] et I le milieu du segment [OB].

Calculer les coordonnées des points M et I.
\item $\Delta$ désigne la droite d'équation $6x - 4y - 13 = 0$.

Vérifier, par le calcul que les points M et I sont des points de $\Delta$.

Montrer que $\Delta$ est la médiatrice du segment [AB].
\item Soit C le point défini par $\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}}$.

Montrer que (O, A, B, C) définit un rectangle.

Pouvez-vous citer un axe de symétrie de ce rectangle ?
\item Déterminer par leurs coordonnées les points d'intersection du cercle de diamètre [AC] avec l'axe de repère $\left(\text{O},~\vect{\imath} \right)$, puis avec l'axe de repère $\left(\text{O},~\vect{\jmath} \right)$.
\end{enumerate}
\end{document}