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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ définies dans $\R$ par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 3x+5\\
g(x) &=& 4x^2 - 1.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $(f \circ g)(x)$ en présentant le résultat sous forme d'un polynôme réduit.
		\item Calculer $(g \circ f)(x)$ en présentant le résultat sous forme d'un produit de polynômes du premier degré.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\R$ les équations 
\begin{description}
\item[ ] $(f \circ g)(x) = \dfrac73$.
\item[ ] $(f \circ g)(x) = 0$
\item[ ] $(g \circ f)(x)= 0$.
\end{description}

Chacune des fonctions $f \circ g$ et $g \circ f$ définit-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
\item Soit la fonction rationnelle $F$, de $\R$ dans $\R$, donnée par :
\[F(x)  = \dfrac{36x^2 - 81}{ (6x + 9)(6x + 11)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son ensemble de définition $\mathcal{D}_F$? Simplifier sur $\mathcal{D}_F$ l'écriture de $F(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $F(x) = 1$.

	\end{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère \Oij, tracer les représentations graphiques des fonctions affines, de $\R$ dans $\R$, définies par: 
\[A(x) = 6x - 9 \qquad  B(x) = 6x + 11.\]

Utiliser le graphique obtenu pour interpréter la réponse donnée à la question
3. b.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} Les questions 3. et 4. sont indépendantes de la question 1.

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les
points 
\begin{center}A(0~;~3)\:;\qquad  B(3~;~5) \:;\qquad C(5~;~2).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{ABC}}$ ; en déduire les distances $d$(A,B) et $d$(B,C). 

Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (A, B, C, D) soit un parallélogramme. Sans nouveau calcul, comparer :
	\begin{enumerate}
		\item les directions des droites (AC) et (BD).
		\item les distances $d$(A,C) et $d$(B,D).
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit E le point de la droite (AB) dont l'abscisse est égale à 2.
		
Quel est le nombre réel $k$ tel que $\vect{\text{AE}} = k\vect{\text{AB}}$ ?

Quelle est la distance $d$(A, E) ?
		\item Soit F l'image de E par la projection orthogonale sur la droite (AC).
		
Quelle est la nature du triangle (A, E, F) ?

Calculer $d$(A,F) et $d$(F ,E).
	\end{enumerate}
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [F, C].

Il coupe le segment [B, C] en G et le segment [C, D] en H.

Quelle est la nature du quadruplet (F, G, C, H) ?
\end{enumerate}
\end{document}