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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes, de $\R$ sur $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x -4)(2x +1)+ \left(x^2 - 8x + 16\right),\\
g(x)&=&(2x + 3)^2 - (x + 4)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f( 1)$ ; $f\left(-\dfrac34\right)$ et $g\left(\sqrt 2\right)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $g(x) = 0$.
\item Soit $E = \{x /x \in \R\: \text{et}\: g(x) \ne 0\}$ et la fonction rationnelle $h$ définie pour tout $x$ de $E$ par
\[h(x) =\dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
Simplifier $h(x)$ sur $E$.
\item Construire dans un plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} les représentations graphiques $(D)$ et $(D')$ des deux fonctions affines définies pour tout $x$ de $\R$, par
\begin{center}$s(x) =x - 4$\quad et $t(x) = 3x + 7$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection I de $(D)$ et $(D')$.

Retrouver le résultat sur la figure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne trois points A, B et D définis par

\begin{center}
$\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath} +2\vect{\jmath}$,\quad  $\vect{\text{OA}} = 8\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}$,\quad et\quad $\vect{\text{OD}} = 8\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et D.
\item Démontrer que le triangle (A, B, D) est rectangle et isocèle.
\item Calculer les coordonnées de I, milieu de (D, B).
\item Montrer que les droites (A, I) et (B, D) sont orthogonales.
\item On considère la symétrie centrale $S_{\text{I}}$ de centre I.
Soit C $=S_{\text{I}}$(A). 

Calculer les coordonnées de C.
\item Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Les points H et K de coordonnées respectives (8~;~8) et (9~;~4) appartiennent-ils à ce cercle ?
\end{enumerate}
\end{document}