\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet des collèges},
%pdftitle = {Amiens septembre 1990},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Amiens}}
\rfoot{\small{septembre 1990}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens septembre 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{I -} Calculer les nombres suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item sous forme d'une fraction aussi simplifiée que possible
274
\[A = \dfrac23 \times \dfrac73 \times \dfrac{4}{21}.\]

\item sous forme décimale $B = \dfrac{10^2}{2,5 \times 10^3}$.
\item sous la forme $a + b\sqrt 5$ où $a$ et $b$ sont des entiers

\[C = \left(2\sqrt 5 + 3 \right)^2\]

\item sous la forme $k\sqrt 2$ où $k$ est un entier 

\[ D = 2\sqrt{50} - \sqrt 8.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II -}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $(2x + 3)^2 - 4$.
\item Résoudre l'équation

\[(2x + 5) (2x + 1) = 0.\]

\item Résoudre l'inéquation

\[2x + 7 \leqslant 0.\]

Représenter graphiquement sur une droite graduée les solutions de
cette inéquation. (Hachurer ce qui ne convient pas.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill(sur 12 points)}

\medskip

\textbf{I}- La figure représente un carré ABCD de centre O. E est un point intérieur à ce carré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.7)(2.7,2.7)
\psframe(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed](-2.5,2.5)(2.5,-2.5)
\psline[linestyle=dashed](-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psdots(-0.6,1.7)
\uput[ul](-2.5,2.5){A} \uput[ur](2.5,2.5){B} \uput[dr](2.5,-2.5){C} \uput[dl](-2.5,-2.5){D} \uput[u](-0.6,1.7){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le point G symétrique du point E par rapport au point O.
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $90\degres$ transformant B en A. 

Cette rotation transforme le point E en F et le point G en H.

Construire les points F et H.
\item Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II}

\begin{enumerate}
\item Le Foyer Socio-Educatif d'un Collège organise des séances de ciné-club. Deux formules d'abonnement sont possibles :

formule n° 1 : 10 F d'inscription au club et 8 F par séance ; 

formule n° 2 : 18 F d'inscription au club et 6 F par séance.

On désigne par $x$ le nombre de séances auxquelles un spectateur a assisté et par :

A la dépense totale avec la formule \no 1 ; B la dépense totale avec la formule n° 2.

Déterminer A et B en fonction de $x$.

\item On se place dans un repère orthogonal (1 cm représente 1 unité
en abscisse et 1 cm représente 5 unités en ordonnée).
	\begin{enumerate}
		\item Tracer dans ce repère :
\begin{center}
\begin{tabular}{l}		
la droite $D_1$ d'équation $y = 8x + 10$ ;\\
la droite $D_2$ d'équation $y = 6x + 18$.
\end{tabular}
\end{center}

		\item Expliquer comment ce graphique permet de résoudre le système
d'équations

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& 8x + 10 \\
y &=& 6x + 18.
\end{array}\right.\]

Préciser le couple solution de ce système.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill (sur 12 points)}

\medskip

Une borne a la forme d'un tronc de pyramide à bases carrées ABCD
et EFGH (voir figure ci-après).

Les droites (AE), (BF), (CG) et (DH) se coupent en S. On désigne par O et I les centres des carrés ABCD et EFGH.

On donne (en cm) AB $= 40$, EF $= 24$ et OI $= 30$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.9,-1.)(3.9,9.4)
%\psgrid
\psline(-2.62,3)(-3.8,0.2)(1.2,0.2)(3.8,2.7)(2.6,4.8)%SBADH
\psline(0.82,3)(1.2,0.2)%SA
\pspolygon(-2.62,3)(0.82,3)(2.6,4.8)(-0.82,4.8)%FEHG
\psline(-2.62,3)(2.6,4.8)%FH
\psline(0.82,3)(-0.82,4.8)%EG
\pspolygon[linestyle=dashed](-3.8,0.2)(3.7,2.7)(-1.2,2.7)%BDC
\psline[linestyle=dashed](-1.2,2.7)(1.2,0.2)%CA
\psline[linestyle=dashed](-1.2,2.7)(-0.82,4.8)%CG
\psdots(0,9.4)\uput[u](0,9.4){S}
\uput[dr](1.2,0.2){A} \uput[dl](-3.8,0.2){B} \uput[l](-1.2,2.7){C} \uput[r](3.7,2.7){D}
\uput[r](0.82,3){E} \uput[ul](-2.62,3){F}\uput[u](-0.82,4.8){G}\uput[u](2.6,4.8){H}
\uput[u](0,3.9){I}
\psline[linestyle=dashed](0,3.9)(0,1.48)
\psline(-0.18,1.4)(-0.18,1.58)(0,1.65)
\psline(-0.18,3.82)(-0.18,3.64)(0,3.7)
\uput[d](0,1.5){O}
\end{pspicture}
\end{center}

On se propose de calculer le volume de cette borne. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que

\begin{center}BO $= 20\sqrt 2$ et FI $= 12\sqrt 2$.\end{center}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item En utilisant la figure ci-contre, calculer $\dfrac{\text{SI}}{\text{SO}}$.

En déduire que SI $ = \dfrac35\text{SO}$.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\begin{pspicture}(2.2,5)
%\psgrid
\psline(0.9,2)(1.9,2)%FI
\pspolygon(0.2,0.2)(1.9,0.2)(1.9,4.5)%BOS
\psframe(1.9,2)(1.7,1.8)
\psframe(1.7,0.2)(1.9,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[l](0.9,2){F} \uput[r](1.9,2){I} \uput[dr](1.9,0.2){O} \uput[u](1.9,4.5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume,start=3]
\item On cherche à calculer SO. Pour cela, on pose SO $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que SO = SI + IO,

exprimer SI en fonction de $x$.
		\item A l'aide de cette expression, et de l'égalité SI $ = \dfrac35$ SO,
calculer $x$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide de sommet S et de base
ABCD.

(Rappel : $V = \dfrac13 \mathcal{B} \times  h$.)
\item Calculer le volume en cm$^3$ de la borne.
\end{enumerate}
\end{document}