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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small L'année 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

1 - Calculer et écrire sous forme décimale les nombres

\[A = \dfrac75 - 3 \times \dfrac12,\qquad
B = 5,4 \times  10^2 - \np{12000} \times 10^3 + 6,9 \times 10,\qquad
C = \left(2\sqrt 7 + 3\right)\left(2\sqrt 7 - 3\right)\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $D = (2x - 5)^2 - (x + 3)(2x - 5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $D$.
		\item Factoriser $D$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre l'équation : $(2x - 5)(x - 8) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une entreprise commerciale, il y a douze vendeurs.

On relève le nombre de ventes réalisées par chaque vendeur pendant une journée et on commence à dresser le tableau suivant :
 
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\scriptsize Nombre de ventes réalisées&0&1&2&3&4&5\\ \hline
\scriptsize Nombre de vendeurs ayant réalisé chacun le nombre de ventes indiqué&&3 &4&2&0&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(6,5)
\uput[d](3.5,-0.5){\scriptsize Nombre de ventes réalisées}
\uput[r](0,4.8){\scriptsize Nombre de vendeurs ayant réalisé chacun}
\uput[r](0,4.5){\scriptsize  le nombre de ventes indiqué}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de vendeurs n'ayant réalisé aucune vente ?
\item Quel est le pourcentage de vendeurs ayant réalisé plus de
deux ventes ?
\item Représenter par un diagramme en bâtons, en adoptant la disposition ci-dessus, le nombre de vendeurs ayant réalisé le nombre indiqué de ventes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité utilisée étant le centimètre, on considère le plan rap-
porté à un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A de coordonnées $(- 2~;~- 2)$, 
B de coordonnées $(-4~;~2)$,  C de coordonnées (6~;~2).
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC (on donnera les valeur: exactes).

En déduire que le triangle ABC est rectangle (on précisera la relation utilisée et on indiquera le sommet de l'angle droit).
\item Placer le point K, centre du cercle $(C)$
circonscrit au triangle ABC. Tracer $(C)$.

Indiquer les coordonnées du point K.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'équation de la droite (AC).
		\item Trouver l'équation de la droite (BE).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un automobiliste est parti à 9~h de la ville E, sur la route qui passe par F, et se dirige vers la ville G.

En utilisant le graphique qui décrit la distance parcourue en fonction du temps écoulé depuis le départ, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle distance y a-t-il entre les villes E et F ? entre les villes E et G ?
		\item Quel est le temps total écoulé depuis le départ quand l' automobiliste arrive en G ?
	\end{enumerate}	
\item À quelle distance de E l'automobiliste se trouve-t-il à 9~h~40 ? Que fait-il alors ? Pendant combien de temps ?
\item À midi, (12~h), quelle distance lui reste-il à parcourir ?
\item À quelle vitesse a-t-il roulé:
	\begin{enumerate}
		\item entre E et F ?
		\item entre F et G ?
(Pour les questions 1., 2., 3., une lecture directe est suffisante)
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-20,0)(230,130)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(230,130)
\psline(-18,0)(-18,120)\psdots(-18,60)(-18,120)(-18,0)
\psline(0,0)(40,60)(150,60)(220,120)
\uput[u](-15,120){\scriptsize Trajet}
\uput[u](100,0){\scriptsize Temps écoulé depuis le départ (en minutes)}
\uput[r](0,128){\scriptsize Distance parcourue (en km)}
\end{pspicture}
\end{center}
Heure à la montre

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle OAB, rectangle en A, tel que:

OA $= 7,2$~cm et AB $= 5,4$~cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que OB $= 9$ cm.
		\item Écrire les rapports entre OA, OB et AB qui correspondent au cosinus, au sinus et à la tangente de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ ; donner les valeurs décimales de ces rapports.
		
En déduire une valeur approchée, à 1 degré près, de la mesure de $\widehat{\text{AOB}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit A$'$ le point du segment [OA] tel que OA$' = 6$ cm.

La parallèle à la droite (AB) qui passe par A$'$ coupe (OB) en B$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle OA$'$B$'$ est une réduction du triangle OAB dans un rapport que l'on précisera.
		
En déduire les longueurs OB$'$ et A$'$B$'$.
		\item Par quel nombre faudrait-il multiplier l'aire du triangle OAB pour obtenir l'aire du triangle OA$'$B$'$ ?
		
Calculer les aires des triangles OAB et OA$'$B$'$.
	\end{enumerate}
\item On considère le cône $(\mathcal{C})$ de sommet O, d'axe (OA), de hauteur OA et de base le disque $(\mathcal{D})$ de centre A et de rayon AB.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du disque $(\mathcal{D})$. (On indiquera la formule utilisée et on donnera une valeur approchée de l'aire de $(\mathcal{D})$ à $0,01$ ~m$^2$).
		\item Calculer le volume du cône $(\mathcal{C})$.
		
Par quel nombre faudrait-il multiplier ce volume pour obtenir celui du cône $(\mathcal{C}')$ de sommet O, d'axe OA, de hauteur (OA$'$) et de base le disque de centre A$'$ et de rayon A$'$B$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}