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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1993}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $A = (2x + 7)^2- (2x + 7)(x + 13)$
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $A$.
		\item Factoriser $A$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre l'équation : $(2x + 7) (x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $B =x^2 - (x + 5) (x - 5)$.
\item Sans faire d'opération, mais en le justifiant brièvement, donner le résultat de :

\[\np{9876543210}^2 - \np{9876543215} \times \np{9876543205}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
Deux parties d'une forêt doivent être reboisées :

\begin{itemize}
\item la première plantation est faite des jeunes plants de \np{1000}~chênes et $200$ hêtres,
\item la deuxième plantation est faite des jeunes plants de $700$ chênes et $500$ hêtres.
\end{itemize}

La première plantation coûte \np{6400}~F et la deuxième coûte \np{6100}~F~. On note $x$ le coût d'un jeune chêne et $y$ le coût d'un jeune hêtre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de x et y le coût de la première plantation.
		\item Exprimer en fonction de x et y le coût de la deuxième plantation.
	\end{enumerate}	
\item Calculer $x$ et $y$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un club sportif, il y a eu 25 nouveaux inscrits en septembre,
qui se répartissent suivant leur âge de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge 				&13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24\\ \hline
Nombre de
nouveaux inscrits	&1	&0	&2	&2	&6	&3	&1	&1	&2	&1	&3	&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de nouveaux inscrits âgés de moins de 18 ans.
		\item Quel est le pourcentage de nouveaux inscrits âgés de 20 ans ou plus ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'âge le plus fréquent?
		\item Jean remarque qu'il y a autant d'inscrits plus âgés que lui que d'inscrits plus jeunes que lui. Quel est l'âge de Jean ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de mesure de température en France est le degré Celsius ; en Grande-Bretagne, c'est le degré Fahrenheit.
On note $t$ la mesure exprimée en degré Celsius, et $T$ la mesure exprimée en degré Fahrenheit.

Le schéma ci-après est une représentation graphique de la relation entre ces deux mesures, qui est de la forme $T =at + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres constants.

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.15cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-30,-10)(20,55)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(-30,-10)(20,55)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-22}{10}{1.8 x mul 32 add}
\psline[linestyle=dashed](-10,0)(-10,14)(0,14)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,41)(0,41)
\uput[u](15,0){Celsius}\uput[r](0,53){Fahrenheit}
\uput[d](5,0){5}\uput[d](-10,0){$- 10$}
\uput[r](0,14){14}\uput[l](0,41){41}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après ce schéma:
	\begin{enumerate}
		\item quelle est la valeur de $t$ quand $T = 41$ ? 
		\item quelle est la valeur de $T$ quand $t = - 10$ ?
	\end{enumerate}
\item  En utilisant les réponses à la question précédente, déterminer le coefficients $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,linewidth=1.25pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-0.2)(4.5,3)
\pspolygon(-4.2,0.2)(4.2,0.2)(0,2.6)%FEB
\uput[l](-4.2,0.2){F} \uput[r](4.2,0.2){E} \uput[u](0,2.6){B}
\psline(-1.8,0.2)(-1.8,1.55)%GH
\uput[l](-1.8,0){G}\uput[ul](-1.8,1.5){H}
\psline(1.8,0.2)(1.8,1.55)%CD
\psline(0,0.2)(0,2.6)%AB
\uput[l](1.8,0){C}\uput[ur](1.8,1.45){D}\uput[d](0,0.2){A}
\psframe(-1.8,0.2)(-1.6,0.4)\psframe(1.8,0.2)(1.6,0.4)\psframe(0,0.2)(-0.2,0.4)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.8,0.2)(0,0.2)\uput[u](-0.9,0.2){ 3 m}
\rput{90}(0.2,1.3){3,5 m}\rput{90}(2,0.725){2 m}
\uput[u](15,0){Celsius}\uput[r](0,50){Fahrenheit}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le dessin ci-dessus représente une coupe transversale de la toiture d'une maison. 

La droite (AB) est l'axe de symétrie de ce dessin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une figure de cette coupe transversale à l'échelle $\dfrac{1}{100}$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le parallélisme de (AB) et (CD) d'après les indications du dessin, et en déduire la mesure de AE.
		\item Calculer la mesure exacte de BE, puis en donner une valeur approchée à $1$ cm près.
		\item Trouver une mesure de l'angle $\widehat{\text{AEB}}$ à $1$ degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip


\begin{minipage}{0.68\linewidth}
SABCD est une pyramide dont la base est un carré, ABCD, de $3$ cm de côté. 

La longueur de [SA] est de $6$ cm.

(SA) est perpendiculaire au plan (ABCD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans calcul, construire en vraie grandeur:
	\begin{enumerate}
		\item le carré ABCD et sa diagonale [AC] ;
		\item le triangle rectangle SAC.
	\end{enumerate}	
\item Calculer les valeurs exactes de AC,SC, $\sin \widehat{\text{ASC}}$,puis une mesure
approchée de $\widehat{\text{ASC}}$ à $0,1\degres$ près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,5.9)
\psline(0.2,5)(0.2,0.2)(2.4,0.2)(0.2,5)(3.6,1.5)(2.4,0.2)%SABSCB
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.4,1.5)(3.6,1.5)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.5)(0.2,5)%DS
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[d](2.4,0.2){B} \uput[r](3.6,1.5){C} \uput[l](1.4,1.5){D} \uput[u](0.2,5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

Un plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J) ; l'unité est le
centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(3~;~2),\: C(11~;~2),\: S(7~;~5) et le point H, milieu du segment [AC].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : AC $= 8$ et SA $= 5$.
		\item De même, calculer la distance SC.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ASC ?
		\item En déduire que les droites (SH) et (AC) sont perpendiculaires.
		\item Démontrer que SH = 3.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la figure le point A$'$ du segment [SA] tel que SA$' = 2$.
		\item Tracer la droite parallèle à la droite (AC) passant par le point A$'$ ; elle coupe le segment [SH] en un point H$'$.
		\item Calculer SA$'$.
		\item En déduire la distance SH$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

On considère la pyramide régulière SABCD de base le carré ABCD et de sommet S.

Les diagonales du carré ABCD se coupent en leur milieu H.

Le triangle ASC de la figure a les mêmes dimensions que le triangle ASC étudié dans la première partie.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ACD ?
		\item Démontrer que AD $= \sqrt{32}$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item On coupe la pyramide SABCD par un plan $(\mathcal{P})$ parallèle au plan de la base ABCD. 

Le plan $(\mathcal{P})$ coupe [SA] en A$'$, [SB] en B$'$, [SC] en C$'$, [SD] en D$'$ et [SH] en H$'$ tel que $\dfrac{\text{SH}'}{\text{SH}} = \dfrac25$.

On obtient la pyramide SA'B'C'D' de sommet S et de base A$'$B$'$C$'$D$'$.

Par quel nombre faut-il multiplier le volume de la pyramide SABCD pour obtenir le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-0.9)(2.6,7.9)
%\psgrid
\psline(0,2.5)(-2.3,-0.6)(1.1,-0.6)(2.3,0.6)(0,2.5)(1.1,-0.6)%(-1.1,0.6)%SADCSD
\psline[linestyle=dashed](0,2.5)(-1.1,0.6)(-2.3,-0.6)(2.3,0.6)(-1.1,0.6)%SBACB
\psline[linestyle=dashed](-1.1,0.6)(1.1,-0.6)%BD
\psline[linestyle=dashed](0,2.5)%HS
\psline(-0.7,1.5)(0.3,1.5)(0.77,1.9)%A'D'C'
\psline[linestyle=dashed](0.77,1.9)(-0.3,1.9)(-0.7,1.5)%C'B'A'
\psline[linestyle=dashed](-0.7,1.5)(0.77,1.9)%A'C'
\psline[linestyle=dashed](-0.3,1.9)(0.3,1.5)%B'D'
\uput[d](-2.3,-0.6){A} \uput[l](-1.1,0.6){B} \uput[r](2.3,0.6){C} \uput[dr](1.1,-0.6){D} \uput[u](0,2.5){S}\uput[d](0,0){H}
\uput[l](-0.7,1.5){A$'$} \uput[ul](-0.3,1.9){B$'$} \uput[r](0.77,1.9){C$'$} \uput[r](0.3,1.5){D$'$} 
%%%%
\psline(0,6.9)(-2.3,3.8)(1.1,3.8)(2.3,5)(0,6.9)(1.1,3.8)%(-1.1,0.6)%SADCSD
\psline[linestyle=dashed](0,6.9)(-1.1,5)(-2.3,3.8)(2.3,5)(-1.1,5)%SBACB
\psline[linestyle=dashed](-1.1,5)(1.1,3.8)%BD
\psline[linestyle=dashed](0,4.4)(0,6.9)%HS
\uput[d](-2.3,3.8){A} \uput[l](-1.1,5){B} \uput[r](2.3,5){C} \uput[dr](1.1,3.8){D} \uput[u](0,6.9){S}\uput[d](0,4.4){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{document}