\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Amiens septembre 1994},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous forme d'une fraction simplifiée et donner une valeur décimale, exacte si possible et sinon approchée à $10^{- 3}$ près, de :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
$A = \dfrac{21+ 5 \times 3}{12+5\times4}$& $B = \dfrac{3\times 10^3\times 5 \times 10^{-5}}  {2\times 10^{-2}}$\\
$C = \dfrac{\left(\sqrt{19} + \sqrt 6 \right)\left(\sqrt{19} - \sqrt 6 \right)}{\sqrt{169}}$&$D = \dfrac{1}{\sqrt 9 + \sqrt{16} + \sqrt{169}}$\\
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression suivante :

$E = (2x - 7)^2 + (9 - x)(2x - 7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser l'expression $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 7)(x + 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le professeur d'EPS a relevé les performances en saut en longueur des garçons des classes de troisième d'un collège et les a regroupées en 5 catégories représentées ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur $L$ en cm			&Effectif	&Fréquence en \%\\ \hline
$250 \leqslant L < 300$	&			&\\ \hline
$300 \leqslant L < 350$		&12 		&\\ \hline 
$350 \leqslant L < 400$		&			&\\ \hline
$400 \leqslant L < 450$		&			&\\ \hline
$450 \leqslant L < 500$		&			&12\,\%\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\psset{xunit=0.03cm,yunit=0.175cm}
\begin{pspicture}(-10,-4)(400,34)
\psframe(100,0)(150,6)
\psframe(150,0)(200,12)
\psframe(200,0)(250,30)
\psframe(250,0)(300,18)
\psframe(300,0)(350,9)
\psaxes[ticks=none,Dy=10,Dx=400]{->}(0,0)(0,0)(400,34)
\multido{\n=100+50,\na=250+50}{6}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psset{labels=none}
\psaxes[ticks=y,Dy=2,Dx=400](300,34)
\uput[r](0,33){Nombre d'élèves}
\uput[u](300,-6){Longueur du saut (en cm)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après ce diagramme, combien y a-t-il d'élèves dans chaque catégorie ? (Écrire ces résultats dans le tableau.)
\item Combien y a-t-il de garçons dans les classes de troisième de ce
collège?
\item Compléter sur le tableau la colonne des fréquences.
\item Combien d'élèves ont-ils réussi à sauter au moins 4 m ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on
considère les points A(4;3), B(2;- 2) et C$(- 3;0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le repère.
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{La figure sera complétée au fur et (l mesure des questions sui- vantes.}

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que les points A et B appartiennent à la droite d'équation 
$y = \dfrac52 x - 7$.
\item Déterminer l'équation de la droite (BC).
\item Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires,
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item Calculer les distances AB et BC.
\item En déduire, en justifiant, la nature du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On dispose d'un cône, de sommet S, de hauteur SO $= 16$~cm ayant pour base un cercle de centre O et de rayon 2,7 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de ce cône (on rappelle $V = \dfrac13 \pi  R^2 h$ ; prendre $\pi \approx 3,14$).

\item Le cône est posé sur le fond d'une boîte creuse ayant la forme d'un parallélépipède rectangle.

On remplit la boîte d'eau jusqu'à hauteur de EFGH. (AE $= 8$~cm.)

La partie du cône qui émerge encore hors de l'eau a maintenant pour base un cercle de centre O$'$ dans le plan EFGH.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}$.
		\item En déduire le volume de la partie émergée du cône, puis de sa partie immergée dans l'eau.
	\end{enumerate}
\item On retire le cône.

Quelle sera la nouvelle hauteur de l'eau dans la boîte ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8.8)
\psframe(1,1.5)(5.7,4.7)%ADHE
\psframe(3.8,1.85)(4,2.05)
\psline(5.7,1.5)(6.6,2.2)(6.6,5.4)(5.7,4.7)%DCGH
\psline(6.6,5.4)(1.9,5.4)(1,4.7)%GFE
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(1.9,2.2)(6.6,2.2)%ABC
\psline[linestyle=dashed](1.9,5.4)(1.9,2.2)%FB
\uput[d](3.35,1.5){11,5 cm}\uput[r](6.35,1.65){6 cm}
\uput[l](1,3.1){8 cm}
\psellipse[linestyle=dashed](3.8,1.85)(1.15,0.15)
\psellipticarc(3.8,5.05)(0.6,0.15){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](3.8,5.05)(0.6,0.15){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](4.95,1.85)(3.8,1.85)(3.8,8.25)(2.65,1.85)
\psline[linestyle=dashed](4.95,1.85)(3.8,8.25)
\uput[ul](1,1.5){A} \uput[ul](1.9,2.2){B} \uput[r](6.6,2.2){C}
\uput[dr](5.7,1.5){D} \uput[ul](1,4.7){E} \uput[u](1.9,5.4){F}
\uput[u](6.6,5.4){G} \uput[ul](5.7,4.7){H} \uput[l](3.8,1.85){O}
\uput[l](3.8,5.05){O$'$} \uput[u](3.8,8.25){S}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip


Le pentagone (polygone régulier à cinq côtés) ACEGI est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon $r$.

On construit l'étoile ABCDEFGHIJ. L est le milieu de [BD].

La longueur commune aux côtés [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], [FG], [GH], [HI], [IJ] et [JA] est appelée $x$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-3.4)(3.4,3.4)
%\psgrid
\pscircle(0,0){3.2}
\pspolygon(3.2;40)(3.2;112)(3.2;184)(3.2;256)(3.2;328)
\psline(3.2;184)(3.2;40)(3.2;256)(3.2;112)(3.2;328)(3.2;184)
\psline(3.2;40)(1.2;220)
\psline(3.2;112)(1.2;292)
\psline(3.2;184)(1.2;4)
\psline(3.2;256)(1.2;76)
\psline(3.2;328)(1.2;148)
\rput{58}(0.83,-0.54){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{134}(0.78,0.62){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{210}(-0.38,0.94){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{8}(-0.99,-0.08){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{70}(-0.22,-0.98){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\uput[ur](3.2;40){E}\uput[u](3.2;112){C}\uput[l](3.2;184){A}\uput[dl](3.2;256){I}\uput[dr](3.2;328){G}
\uput[ul](-1.03,0.62){B}\uput[dl](-0.95,-0.8){J}\uput[dr](0.44,-1.16){H}\uput[r](1.2,0.08){F}\uput[u](0.3,1.18){D}\uput[ur](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En expliquant votre raisonnement, montrer que $\widehat{\text{COA}} =72\degres$, que $\widehat{\text{BOA}} = 36\degres$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer un des axes de symétrie de la figure.
		\item La figure admet-elle un centre de symétrie ?
		\item Que se passe-t-il dans la rotation de centre O qui .fait passer de A à C ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer AL en fonction de $r$ et $\sin 72\degres$.
		\item Exprimer LO en fonction de $r$ et $\cos 72\degres$.
	\end{enumerate}	
\item Montrer que LB $= r \times \cos 72\degres \times \tan 36\degres$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $x$ en fonction de AL et LB.
		\item Montrer que $x = r\left(\sin 72\degres - \cos 72\degres \times \tan 36\degres \right)$.
		\item Donner une valeur approchée de $x$ à 1 mm près quand $r = 5$ cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}