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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres :

\[A = \dfrac{7}{18} \times \dfrac27- \left(\dfrac53  - 1\right)^2 \qquad 
B = \dfrac{3 \times 10^2 \times  5 \times  10^4}{12 \times \left(10^3\right)^3}\qquad 
C = 2 \sqrt 5 + 2 \sqrt{125} - 7 \sqrt{45}.\]

En précisant les différentes étapes du calcul :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous la forme d'une fraction, la plus simple possible.
\item Donner l'écriture scientifique de $B$.
\item Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt 5$ , $a$ étant un nombre entier relatif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :
$E = (2x - 3)(5 - 2x)- (2x - 3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(- 4x + 8) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c r}
x + y &=& 35\\
28x + 52y &=&\np{1316}
\end{array}\right.$
\item Pour un parc floral, un paysagiste achète un lot de $35$ plantes constitué de rosiers à $28$ F le pied et d'azalées à $52$ F pièce. Le montant de la facture correspondant à cet achat est \np{1316} F.
Déterminer le nombre de pieds de rosiers et le nombre d'azalées achetés.
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
Funiculaire (chemin de fer à traction par câble pour la desserte des voies à très forte pente)
\smallskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(10,5.4)
%\psgrid 
\pspolygon(2,1.2)(9.3,1.2)(9.3,4.9)%DHA
\psline(5.2,1.2)(5.2,2.85)%PM
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,0.4)(9.3,0.4)\uput[d](5.65,0.4){100 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,1.4)(5.2,3.1)\rput{30}(3.2,2.5){42 m}
\psframe(5.2,1.2)(5.4,1.4)\psframe(9.3,1.2)(9.1,1.4)
\uput[ur](9.3,4.9){A} \uput[dl](2,1.2){D} \uput[dr](9.3,1.2){H} \uput[ur](5.2,2.85){M} \uput[d](5.2,1.2){P}
\rput(0.8,0.9){Départ}\rput(8.6,5.2){Arrivée}
\end{pspicture}
\end{center}

La longueur AD de la voie du funiculaire est de 125 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item De quelle hauteur AH s'est-on élevé à l'arrivée ?
\item Lorsque le funiculaire a parcouru $42$ m, il s'est élevé d'une hauteur ME:
	\begin{enumerate}
		\item Faire un dessin à l'échelle 1/\np{1000} (faire le dessin sur la copie).
		\item Que peut-on dire des droites (MP) et (AH) ? Justifier la réponse. 
		\item Calculer ME.
	\end{enumerate}	
\item Déterminer l'arrondi au degré de la mesure de $\widehat{\text{D}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour résoudre cet exercice, vous pourrez utiliser le formulaire suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}\hline
Volume du pavé droit&$L\times l \times h$\\ \hline
Volume du cône&$\dfrac{\pi times R^2 \times h}{3}$\\ \hline
Volume du prisme&$B \times h$\\ \hline
Volume de la pyramide&$\dfrac{B \times h}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère la pyramide ABCD :

$\bullet~~$de hauteur [AD] telle que AD $= 5$ cm;
$\bullet~~$de base ABC telle que : AB $= 4,8$ cm ; BC $= 3,6$ cm ; CA $= 6$ cm.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
(La figure n'est pas aux dimensions.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\item On désire fabriquer de telles pyramides en plâtre. Combien peut-on en obtenir avec 1 dm3 de plâtre ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psgrid 
\psline(4.4,0.3)(0.2,0.3)(0.2,4.9)(4.4,0.3)(5.6,2.4)(0.2,4.9)%BADBCD
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.3)(5.6,2.4)%AC
\uput[dl](0.2,0.3){A} \uput[dr](4.4,0.3){B} \uput[r](5.6,2.4){C} \uput[u](0.2,4.9){D}
\psframe(0.2,0.3)(0.4,0.5)\psline(0.2,0.55)(0.4,0.7)(0.4,0.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{La chasse au trésor}

\medskip

Paul cherche un trésor situé à proximité de deux villages A et B et d’un château C.

Ce trésor est aligné avec le village B et le château C et il se trouve à la même distance du village A que du village B.

Sur un plan représentant la région dans un repère orthonormal (O, I, J) le village A, le village B et le château C correspondent aux points A$(- 2~;~3)$, B$(6~;~- 1)$ et C$(8~;~- 7)$. 

L’unité sur le plan est 1 cm et correspond à $120$ m dans la réalité.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le repère (O, I, J).
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
\item Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
\item Montrer que l'équation de la médiatrice du segment [AB] est :
$y = 2 x - 3$.
\item Déterminer l'équation de la droite (BC).
\item Soit T le point d'intersection de la droite (BC) avec la droite d'équation $y = 2 x - 3$.

Calculer les coordonnées du point T.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le point T représente la position du trésor sur
le plan.
\item Calculer AT. En déduire à 1 m près la distance réelle entre le village A et le trésor.
\end{enumerate}
\end{document}