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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1997}
\rfoot{\small Amiens}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin  1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous forme fractionnaire la plus simple possible :

\[A = \dfrac23 - \dfrac53 \times \left(1 - \dfrac15\right).\]

\item Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers positifs et $b$ le plus petit possible : 

\[B = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} +3\sqrt{8}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $C = (2x - 3)^2 -(1 - 4x)(2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation $(2x- 3)(6x- 4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire : $D = (a + 5)^2 -(a - 5)^2$
\item On pose : $E = \np{10005}^2- \np{9995}^2$.

Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la question 1., trouver la
valeur de $E$ (indiquer les étapes du calcul).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur votre copie les nombres donnés ci-dessous et entourer ceux qui sont solutions de l'inéquation $1 - 5 x \leqslant 21$ :

\[0 \quad ; \quad-7 \quad; \quad 4 \quad;  \quad-4.\]

\item Résoudre l'inéquation $3 x - 2 \geqslant x - 4$.

Représenter graphiquement, sur une droite graduée, les solutions de cette inéquation (hachurer la partie qui ne convient pas).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Un automobiliste roule $15$ minutes à la vitesse de $80$ kilomètres par heure, puis $1$ heure et $45$ minutes à la vitesse de $120$ kilomètres par heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que la distance totale parcourue est $230$ km.
\item Calculer la vitesse moyenne sur cette distance totale.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Une échelle de $6$ mètres est appuyée contre un mur vertical de $7$ mètres de haut. 

Par mesure de sécurité, on estime que l'angle que fait l'échelle avec le sol doit être de $75\degres$ (voir schéma ci-contre).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance AB entre le pied de l'échelle et le mur. (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)
\item À quelle distance CD du sommet du mur se trouve le haut de l'échelle ? (On donnera le résultat arrondi au centimètre.)
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4,8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0.2)(1.8,7.4)
\psline(0,0.2)(4,0.2)
\psframe(1.8,0.2)(2,0.4)
\psline(1.8,6.1)(3.4,0.2)
\psarc(3.4,0.2){0.4}{105}{180}
\rput(2.8,0.8){$75\degres$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.1,0.2)(1.1,7.4)\uput[l](1.1,3.8){7 m}
\uput[d](1.8,0.2){A} \uput[d](3.4,0.2){B} \uput[ur](1.8,6.1){C} \uput[r](1.8,7.4){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-contre, les droites (AG) et (RB) sont parallèles. Les droites (AB) et (RG) se coupent en E.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,0.2)(6,0.2)\psline(0,3.5)(6,3.5)
\psline(0.7,0.2)(3.3,3.5)
\psline(0.3,3.5)(5.6,0.2)
\psline(2.9,1.8)(3,1.9)
\psline(1.7,0.1)(1.7,0.3)
\uput[d](0.7,0.2){A} \uput[u](3.3,3.5){B} \uput[l](2.15,2.2){E}
\uput[d](5.6,0.2){G} \uput[ur](2.95,1.85){K} \uput[u](0.3,3.5){R}
\uput[d](1.7,0.2){Z}
\end{pspicture}
\end{center}

L’unité de longueur est le centimètre. On donne : BE = 3 ; AE = 5 ; AG = 10 et EG = 8.

Les dimensions ne sont pas respectées sur le schéma. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances RB et RE (justifier).
\item On donne GK $= 6,4$ et GZ $= 8$.

Montrer que les droites (ZK) et (AE) sont parallèles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Chacun des triangles 2, 3, 4 et 5 est obtenu à partir du triangle 1 à l'aide d'une symétrie axiale, d'une symétrie centrale, d'une translation ou d'une rotation.

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(0,-9)(23,10)
\def\Tri{\pspolygon(0,0)(2.82843)(0,-5.65685)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psline(23,0)

\rput{-45}(9,-2){\Tri}
\rput{-45}(15,10){\Tri}\rput{135}(17,2){\Tri}\rput{45}(15,-4){\Tri}
\pspolygon(9,2)(11,4)(5,6)
\uput[ur](13,0){A} \uput[d](9,2){B} \uput[l](15,4){C} \uput[u](9,-2){D} \uput[dl](5,-6){E} \uput[l](11,6){F} \uput[dl](15,-4){G}
\rput(8.5,-3.5){1} \rput(14.5,8.5){2} \rput(8.5,3.5){3} \rput(16.5,-4.5){4} \rput(17.5,3.5){5}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](13,0)
\uput[d](0.5,0){$x$}\uput[d](22.5,0){$y$}
\psarc{->}(20,8){1.5}{10}{80}
\end{pspicture}
\end{center}


Recopier les quatre phrases suivantes et compléter :

\medskip

\begin{enumerate}
\item L’image du triangle 1 par la symétrie axiale d'axe ... est le triangle ...
\item L’image du triangle 1 par la symétrie centrale de centre ... est le triangle ...
\item L’image du triangle 1 par la translation de vecteur ... est le triangle ...
\item Le triangle 1 a pour image le triangle 4 par la rotation de centre ... et d'angle ... (le sens de la rotation est indiqué par la flèche).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On considère un repère orthonormal (O, I, J). L’unité graphique est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points : A(2~;~4) ;\, B(4~;~0) ;\, C$(- 2~;~- 3)$.
\item Calculer la distance AB.
\item On donne BC $= 3\sqrt 5$ et AC $= \sqrt{65}$.
Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
\item Soit (D) la droite d'équation $y = \dfrac12 x + 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que le point A est sur la droite (D).
		\item Représenter la droite (D), en justifiant.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (D$'$) perpendiculaire à (D) passant par le point C.
		\item Déterminer par le calcul l'équation de (D$'$).
	\end{enumerate}
\item Soit M le point d'intersection des droites (D) et (D$'$). Montrer par le calcul que les coordonnées de M sont $(-4~;~1)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AM}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCM ?
		
Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}