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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1998}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Amiens juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées, désignées par les lettres A, B et C, mais une seule est exacte.

Écrire dans la colonne de droite la lettre correspondant à la bonne réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{2.75cm}|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse choisie\\ \hline
$16 \times 10^{-4}$ est égal à &\np{0,1600}&\np{0,0016}&\np{160000}&\\ \hline
$\dfrac53 - \dfrac26 + 1$ est égal à &$\dfrac43$&$\dfrac86$&$\dfrac73$&\rule[-3mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
L'équation $\dfrac{x}{2} = \dfrac45$ a pour solution&$\dfrac85$&$\dfrac{10}4$&2&\\ \hline
$\sqrt{75} \times \sqrt{48}$ est égal à &\np{1800}&60&$20\sqrt{3}$&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$\sqrt{32}$ est égal à&$16\sqrt{2}$&$8\sqrt{2}$&$4\sqrt{2}$&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les questions peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

 On considère l'expression $E = (3 x - 2)^2 - 16$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(3 x + 2)( x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
42x+80y &=& \np{1514}\\
\phantom{42}x + \phantom{80}y &=& 27
\end{array}\right.\]

\item Pour un concert de jazz, les places valent $42$ F ou $80$ F. Une association a acheté $27$ places pour un montant de \np{1514} F.

Combien de places de chaque sorte l'association a-t-elle achetées ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le 1\up{er} janvier 2002, les prix seront donnés en euros. On suppose que 1 euro vaudra $6,50$ F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En appelant $x$ le prix en euros et $y$ le prix en francs , exprimer $y$ en
fonction de $x$.
\item Quel sera le prix en francs d'un loyer valant $280$ euros ? 
\item Quel sera le prix en euros d'un véhicule valant \np{58500} F ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour tout l’exercice, l'unité de longueur est le centimètre.

Construire un triangle ABC tel que : AB $= 4,5$ ; BC $= 6$ et AC $= 7,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Montrer, par un calcul, que l'arrondi au degré de la mesure de $\widehat{\text{A}}$ est $53\degres$.
\item Construire le cercle de centre A et qui passe par C ; il coupe la demi-droite [AB) en un point D.

Quelle est la nature du triangle ADC ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-après, ABCF et FEDC sont deux parallélogrammes tels que C et F sont les milieux respectifs des segments [BD] et [AE].

%%%%% fig
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,1.8)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.5,0.3)(5.6,1.5)(1.4,1.5)%BDEA
\psline(2.4,0.3)(3.5,1.5)%CF
\uput[ul](1.4,1.5){A} \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[d](2.4,0.3){C}
\uput[dr](4.5,0.3){D} \uput[ur](5.6,1.5){E} \uput[u](3.5,1.5){F}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant uniquement les points de cette figure, donner :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un vecteur égal au vecteur $\vect{\text{CB}}$.
\item Un vecteur égal au vecteur $\vect{\text{CE}}$.
\item Un vecteur n’ayant pas la même direction que le vecteur $\vect{\text{CB}}$.
\item L’image de C par la translation de vecteur $\vect{\text{AF}}$.
\item Un vecteur égal au vecteur $\vect{\text{CF}} + \vect{\text{FE}}$.
\item Un vecteur égal au vecteur $\vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-2)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,-1)(0,3)(4,3)%ABC
\uput[dr](2,-1){A} \uput[ul](0,3){B} \uput[ur](4,3){C}
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le repère orthonormal (O, I, J) ci-dessus, on a placé les points A, B et C : A$(2~;~-1)$ \quad B(0~;~3)\quad  C(4~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les droites (OC), (BC) et (AB).

Leurs équations figurent dans la liste suivante :

\[y = -2x +3\quad  y = 2x +3 \quad  y = 3\quad y = \dfrac{3}{4}x \quad x = 3\]

Recopier et compléter les phrases suivantes : 

\begin{itemize}
\item la droite (OC) a pour équation ...
\item la droite (BC) a pour équation ...
\item la droite (AB) a pour équation ...
\end{itemize}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
\item Calculer AC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $=$ 9 cm et AC $= 6$ cm.

D est le point du segment [AC] tel que AD $= \dfrac13$ AC.

E est le point du segment [AB] tel que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure en grandeur réelle sur votre copie.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,6.7)
\pspolygon(0.3,0.3)(0.3,6)(4,0.3)%ABC
\psline(0,2.9)(1.6,0)%DE
\psframe(0.3,0.3)(0.55,0.55)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[ul](0.3,6){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[dl](1.6,0.3){D} \uput[ul](0.3,2.2){E} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item Calculer BC, puis en donner la valeur arrondie au centième.
\item Montrer par le calcul que AE = 3 cm.
\item Placer le point F sur le segment [AC] tel que AF $= 4$ cm.
Placer le point G sur le segment[AB] tel que AG $= 6$ cm.
Tracer le segment [FG].
\item Démontrer que la droite (FG) est parallèle à la droite (BC).
\item En tournant autour de la droite (AB) le triangle ABC engendre un cône C1.
AB est sa hauteur et AC est le rayon de sa base.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire B1 de la base du cône en fonction de $\pi$.
		\item Calculer le volume $V$ du cône $C$ en fonction de $\pi$, puis donner la 
valeur du résultat arrondie au millième.

On rappelle la formule du volume d'un cône : $V = \dfrac13 Bh$.
	\end{enumerate}
\item En tournant autour de la droite (AD) le triangle AED engendre un cône $C_2$ de volume $V_2$ : AE est la hauteur de ce cône, AD est le rayon de sa base.

Le cône $C_2$ est une réduction de $C_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coefficient de réduction ?
		\item Exprimer le volume $V_2$ en fonction de $V_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,6.3)
\pspolygon(0,0)(0,5.5)(3.6,0)%ABC
\psline(0,1.8)(1.2,0)%ED
\uput[dl](0,0){A} \uput[ur](0,5.5){B} \uput[r](3.6,0){C}
\uput[dr](1.2,0){D} \uput[l](0,1.8){E}
\psframe(0.25,.25)
\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(3.6,1.1)
\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(1.2,0.35)
\psarc{<-}(0,5.75){0.6}{-130}{-50}
\psline[linestyle=dashed](0,5.5)(-3.6,0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(-1.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}