\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Amiens juin  1999},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\lfoot{\small{juin 1999}}
\rfoot{\small{Amiens}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens  juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }:

\medskip

On pose : $A = \dfrac{\dfrac{3}{2} - 1}{\dfrac{1}{2} + 1}\qquad  B = \dfrac{1,2 \times 10^{-21}}{3 \times 10^{-20}}$.

Calculer $A$ et $B$ : vous ferez apparaître chaque étape de calcul et vous donnerez le résultat de $A$ sous la forme d'une fraction la plus simple possible, et le résultat de $B$ sous forme décimale.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers : $\sqrt{45},\, \sqrt{12},\,\sqrt{20}$.
\item On considère le nombre : $C= 2\sqrt{45} +3\sqrt{12}- \sqrt{20} - 6\sqrt{3}$.

Écrire $C$ sous la forme $d\sqrt{5}$, où $d$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} :

\medskip

On considère l'expression : $D = (3 x - 1)^2 -81$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation: $(3 x - 10) (3 x + 8) = 0$. 
\item Calculer $D$ pour $x = - 5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4} :

\medskip

Un confiseur prépare deux sortes de boîtes comportant des tuiles en chocolat et des macarons à la pâte d'amande.

Dans le paquet de la première sorte, il place $20$ tuiles et $15$ macarons : ce paquet sera vendu $96$~F.

Dans le paquet de la deuxième sorte, il place $10$ tuiles et $25$ macarons : ce paquet sera vendu $90$~F.

Calculer le prix d'une tuile et celui d'un macaron.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O, I, J), tracer les droites suivantes:

La droite $d_1$ d'équation $y = 3x$.

La droite $d_2$ d'équation $y = 3x - 2$.

Vous expliquerez brièvement votre démarche pour chaque droite. 
\item Que pouvez-vous dire des droites $d_1$ et $d_2$ ?

Justifiez votre réponse.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
L'aire du triangle ADE est $54$ cm$^2$.

B est le point de [AD] tel que AB $= \dfrac{1}{3}$AD.

C est le point de [AE] tel que AC $= \dfrac{1}{3}$AE.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.6,-3)
\pspolygon(0,0)(5.6,0)(3,-2.9)%ADE
\psline(1,-0.97)(1.85,0)%CB
\uput[ul](0,0){A} \uput[u](1.85,0){B} \uput[dl](1,-0.97){C} \uput[ur](5.6,0){D} \uput[r](3,-2.9){E} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 
\item Le triangle ABC est une réduction du triangle ADE. 

Quelle est l'échelle de la réduction ?
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} :

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées, désignées par les nombres 1, 2, 3. Une seule est exacte.

Écrire dans la colonne de droite le numéro correspondant à la bonne réponse.

Toutes les questions sont indépendantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Réponse 1 &Réponse 2& Réponse 3& Réponse choisie\\ \hline
\textbf{A.} Si A$(5~;~- 1)$ et B(2~;~3), 
alors $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées:&$(3~;~-4)$&(7~;~2)&$(-3~;~4)$&\\ \hline
\textbf{B.} A$(5~;~- 1)$ et B(2~;~3) dans un repère orthonormal, alors AB est égal à :&5&1&7&\\ \hline
\textbf{C.} Si D est l'image de E par la translation de vecteur $\vect{\text{MN}}$ : alors:&$\vect{\text{MN}} = \vect{\text{DE}}$&$\vect{\text{ED}} = \vect{\text{MN}}$&$\vect{\text{ED}} = \vect{\text{NM}}$&\\ \hline
\textbf{D.} Si RSTU est un parallélogramme, alors $\vect{\text{RS}}+ \vect{\text{RU}}$ est égal à :&
$\vect{\text{TR}}$&$\vect{\text{SU}}$&$\vect{\text{RT}}$&\\ \hline
\textbf{E.} Si $\Delta$ et $\Delta'$ sont deux droites parallèles

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4.4,2.5)
%\psgrid
\psline(4.4,2.4)(0,0)(4.4,0)
\psline(1,1.5)(3.3,-0.5)\psline(1.8,1.5)(4.1,-0.5)
\uput[u](1.65,0.9){A}\uput[ur](2.75,0){B}\uput[u](2.2,1.2){C}\uput[ur](3.5,0){D}
\uput[l](3.2,-0.4){$\Delta$}\uput[l](4,-0.4){$\Delta'$}
\end{pspicture}
\medskip

Alors le quotient $\dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}$ est égal à :&$\dfrac{\text{CD}}{\text{AI}}$&
$\dfrac{\text{IB}}{\text{ID}}$&$\dfrac{\text{IC}}{\text{IA}}$& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4} :

\medskip

Un réservoir d'eau est formé d'une partie cylindrique et d'une partie conique.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 5}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.2)(3.5,4)
\psline{->}(-0.5,3.8)(-2.5,3.8)
\psline{->}(0.5,3.8)(2.5,3.8)\rput(0,3.8){14~dm}
\psellipse(0,2.5)(2.5,0.35)
\psellipticarc(0,0)(2.5,0.35){180}{360}
\psline(-2.5,3.8)(-2.5,0)(0,-3.2)(2.5,0)(2.5,3.8)
\psline{->}(-3,0.6)(-3,3.8)\psline{->}(-3,-0.6)(-3,-3.2)\psline{->}(3,2.3)(3,3.8)\psline{->}(3,1.5)(3,0)
\rput{90}(-3,0){16~dm}
\psline{->}(-3,-0.6)(-3,-3.2)\rput{90}(3,1.9){7~dm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner, en dm$^3$, le volume exact de la partie cylindrique en utilisant le nombre $\pi$.
\item Donner, en dm$^3$, le volume exact de la partie conique en utilisant le nombre $\pi$.
\item Donner le volume exact du réservoir, puis sa valeur arrondie à 1 dm$^3$ près.
\item Ce réservoir peut-il contenir \np{1000}~litres ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Formulaire :}


Volume d'un cylindre: $\pi R^2 h$

Volume d'un cône: $\dfrac{1}{3} \times $aire de la base $\times$ hauteur.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip


\begin{minipage}{0.53\linewidth}La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.

On sait que:

AB $= 10$

H est le milieu de [AB]

SH $= 3$

Les droites (AB) et (SH) sont perpendiculaires. 

Les mesures sont exprimées en cm.\end{minipage}
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.7,0)(2.7,2)
\pspolygon(-2.7,0)(2.7,0)(0,1.8)%ABS
\psline(0,1.8)(0,0)%SH
\uput[dl](-2.7,0){A} \uput[dr](2.7,0){B} \uput[ur](0,1.8){S} \uput[d](0,0){H}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure en vraie grandeur.
\item Montrer que le triangle SAB est isocèle en S.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de SA.
		\item En déduire la valeur exacte du périmètre du triangle SAB.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $\tan \widehat{\text{ASH}}$.
		\item En déduire la mesure de $\widehat{\text{ASH}}$, puis celle de $\widehat{\text{ASB}}$ (arrondies au degré).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}Soit M un point du segment [SH].

 On pose MH $= x$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,0)(2.7,2)
\pspolygon(-2.7,0)(2.7,0)(0,1.8)%ABS
\psline(0,1.8)(0,0)%SH
\uput[dl](-2.7,0){A} \uput[dr](2.7,0){B} \uput[ur](0,1.8){S} \uput[d](0,0){H}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\psline[linestyle=dashed](-2.7,0)(0,1)(2.7,0)\uput[ur](0,1){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ? (On pourra répondre sous forme d'un encadrement de $x$.)
\item On note $\mathcal{A}_1$ l'aire du triangle BMH et $\mathcal{A}_2$ l'aire du triangle ASM.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{A}_1= \dfrac{5x}{2}$.
		\item Quelle est la hauteur issue de A du triangle ASM ? 
		\item Exprimer SM en fonction de $x$.
		\item Montrer que $\mathcal{A}_2 =  \dfrac{5(3 - x)}{2}$.
	\end{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $\mathcal{A}_1 = 2\mathcal{A}_2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On note I le milieu du segment [SH] et E le symétrique de A par rapport à I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur votre figure, placer les points I et E.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ASEH ? Justifier.
\item En utilisant les points de la figure, citer deux vecteurs égaux
à $\vect{\text{AH}}$. Justifier les réponses.
\item Démontrer que SEBH est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}