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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1988 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{Première partie}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer (donner une valeur exacte, la plus simple possible, et non une valeur approchée) :

\[2 + \dfrac{3}{4}\:; \qquad  1,7 -\dfrac53\:; \qquad \dfrac23 - \dfrac14\:; \qquad - \dfrac34 \times \dfrac{18}{5}.\]

\item Écrire. sans radical au dénominateur, $\dfrac{3 - 7\sqrt 2}{2\sqrt 5 + 3 \sqrt 2}$.
\item $A = \sqrt{20}- \sqrt{45} - \sqrt{125}$. 

Simplifier $A$.

Sachant que $2,236< \sqrt 5 < 2,237$, donner une valeur approchée de $A$ à $0,1$ près par défaut.
\item $f(x) = (2x + 3)^2 - (3x - 1)^2$
	\begin{enumerate}
		\item Développer $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 8$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\R$ le système d'inéquations

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 5		&\geqslant 	&0\\
- 3x - 2	&<			&0.
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Deuxième partie}
\end{center}

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (l'unité est le cm).

On considère les points A(0~;~+ 3); B(+ 4~;~+ 1); C$(- 2~;~- 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. 

En déduire que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item Calculer AB, AC et BC et en déduire la nature du triangle ABC.
\item Construire la droite $(D)$ d'équation $y = 3x + 3$.

Le point A appartient-il à $(D)$? Vérifier par le calcul.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées de E tel que ABCE soit un parallélogramme.
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{Troisième partie}
\end{center}

Devant effectuer fréquemment un voyage en train, toujours sur le même trajet, j'ai le choix entre trois options:

\begin{itemize}
\item \emph{Option T} : acheter pour chaque voyage un billet au tarif normal de $50$ francs;
\item \emph{Option M} : acheter une carte demi-tarif qui coûte $300$~francs pour l'année et payer, de plus, chaque voyage à moitié prix;
\item \emph{Option A} : acheter une carte d'abonnement qui coûte \np{2000}~francs pour l'année et ne rien payer pour chaque voyage.
\end{itemize}

Les représentations graphiques sont à faire sur une même feuille :

\begin{itemize}
\item demi-axes perpendiculaires O$x$ et O$y$ ;
\item sur O$x$: 1 cm représente 5 voyages; sur O$y$ : 1 cm représente $100$~francs ; $x$ désigne le nombre de voyages effectués dans l'année.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Option T} :
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ la dépense annuelle $T(x)$, en francs, pour $x$ voyages.
		
Calculer $T(0)$ et $T(40)$.
		\item Tracer la représentation graphique $\Delta_1$ de l'application dans $\R : x \longmapsto  T(x)$ en expliquant.
	\end{enumerate}
\item \emph{Option M} :
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ la dépense annuelle totale (carte comprise) $M(x)$ pour $x$ voyages. Calculer $M (0)$ et $M (40)$.
		\item Tracer la représentation graphique $\Delta_2$ de l'application dans $\R :\quad  x \longmapsto M(x)$ en expliquant.
	\end{enumerate}	
\item Comparaison des options $M$ et $T$ :
	\begin{enumerate}
		\item Pour combien de voyages les options $M$ et $T$ donnent-elles la même dépense ?
		
Poser une équation, la résoudre algébriquement, l'interpréter graphiquement.
		\item Pour combien de voyages prendre une carte demi-tarif est-il plus économique que voyager au tarif normal ?
		
Poser une inéquation, la résoudre algébriquement, l'interpréter graphiquement.
	\end{enumerate}
\item \emph{Option A} :

Quelle est la valeur de $A(x)$ dépense totale annuelle pour $x$ voyages avec carte d'abonnement ?

Représenter graphiquement par $\Delta_3$ l'application dans $\R: x \longmapsto A(x)$ en expliquant quelle est cette application.
\item Résoudre dans $\R^{*}$ l'inéquation $300 + 25x \leqslant  \np{2000}$.

Interpréter graphiquement.

Rédiger une phrase pour expliquer à quelle question concrète
sur les tarifs correspond cette inéquation et quelle en est la réponse.
\item \emph{Conclusion} :

En utilisant graphique ou calculs, comparer $T(x)$, $M(x)$ et $A(x)$.

Quel est le nombre annuel de voyages pour lequel chacune des trois options est la plus économique ?
\end{enumerate}
\end{document}