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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer et donner la réponse sous forme d'une fraction irréductible.

\[A = -\dfrac23 + \dfrac52 \times \dfrac{7}{15}\:;\quad B= \dfrac{\dfrac23 - \dfrac45}{
\dfrac{3}{10} - \dfrac12}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Effectuer

\[C = 1 + \dfrac{4}{2 + \sqrt 7}\]

et donner la réponse la plus simple, sans radical au dénominateur.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose

\[D = \sqrt{81} + \sqrt{63} -5\sqrt{28} - \sqrt{16}.\]

Écrire $D$ sous la forme $a + b\sqrt{7}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers
relatifs.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

En 1789, l'ouvrier picard gagnait 1 livre 5 sols par jour. 

Le pain coûtait 3 sols et 9 deniers.

On rappelle que la livre valait 20 sols et le sol 12 deniers.

Sachant qu'aujourd'hui, un pain de même poids coûte $17,70$ F, quel serait le salaire actuel de cet ouvrier picard ?

Comparer ce salaire au SMIC qui est de \np{4860,44}~F pour un mois de 30 jours.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Résoudre :

\begin{enumerate}
\item $(x - 2)^2 - (2x + 3)^2 = 0$.
\item $3 - 5x \geqslant 2x - \dfrac12$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur choisie est le centimètre.

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre O et de rayon 4.

Soit [AB] un diamètre de $\mathcal{C}$.

Soit $(\Delta)$ la tangente en B au cercle $\mathcal{C}$.

Soit un point I de $\mathcal{C}$ tel que IB $= 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AI (on donnera l'écriture la plus simple).
\item Soit le point M du segment [AB] tel que AM $= 3$.

La parallèle à $(\Delta)$ passant par M coupe (AI) en J.

Déterminer AJ. Justifier correctement.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit ABCD un parallélogramme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$. Justifier.
\item Construire le point F tel que $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AD}} - \vect{\text{DC}}$. Justifier.
\item Exprimer $\vect{\text{DE}}$ et $\vect{\text{DF}}$ en fonction de $\vect{\text{AB}}$.

En déduire $\vect{\text{DE}} + \vect{\text{DF}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Monsieur et Madame Durand ont 6 enfants. 

Le nombre de garçons est égal à la moitié du nombre de filles.

Combien Monsieur et Madame Durand ont-ils de filles ? 

Combien Monsieur et Madame Durand ont-ils de garçons ? 

Indications : on désignera par $x$ le nombre de filles et par $y$ le
nombre de garçons et on formera un système de deux équations à deux inconnues.

\medskip

\item L'unité utilisée est le cm.

Dans un repère orthonormé \Oij, tracer les droites $(D)$ et $(\Delta)$ d'équations respectives:

\[\begin{array}{l l c l}
(D) :&y&=&- x + 6\\
(\Delta) :&y&=&\dfrac12 x
\end{array}\]

Indiquer les méthodes utilisées pour tracer ces droites.
\item Démontrer que $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes. Soit I le point d'intersection de ces deux droites, lire graphiquement les coordonnées de I.

Pourquoi les coordonnées de I sont-elles solutions de la première
question ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de A, point d'intersection de $(D)$ avec l'axe des abscisses.
		\item Calculer les coordonnées de B, point d'intersection de $(D)$ avec l'axe des ordonnées.
		\item Quelle est la nature du triangle OAB ?
		\item Soit H le projeté orthogonal de O sur $(D)$.
		
Que représente le point H pour le segment [AB] ?

En déduire les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}