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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $A = (2x - 3 )^2 - (x + 5 )$.
\item Factoriser l'expression $B = (x -1)(5x + 12) + (x - 1)(x - 5)$.
\item Soit l'expression $C = 9x^2 - 16$.
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $C$.
		\item Calculer $C$ pour $x = 3$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(x -1)(6 x + 7) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres : 

\[A = \dfrac{20}{13}  : \dfrac{15}{26} + \dfrac{10}{3} \quad 
B = 7\sqrt 6 - 2 \sqrt{24} + 5 \sqrt{54}\quad   C = \dfrac{12 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^6}{
15 \times 10^3 \times 2 \times 10^2}.\]

En précisant les différentes étapes des calculs : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous la forme d'un nombre entier.
\item Écrire $B$ sous la forme $a \sqrt b$ ou $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\item Écrire $C$ sous la forme d'un nombre décimal.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

À la plage il est possible de louer à la journée des chaises longues et des parasols.

Pour une journée, la famille A loue 2 parasols et 4 chaises longues pour 84 F alors que la famille B loue 3 parasols et 5 chaises longues pour 114 F.

On veut déterminer le prix de la location à la journée d'un parasol et celui de la location à la journée d'un chaise longue. 

Mettre le problème en équation et le résoudre.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une classe de 30 élèves, à un moment donné, on a recensé ceux qui portent des lunettes et ceux qui ont des lentilles de contact.

On souhaite illustrer le tableau ci-après par un diagramme semi-circulaire.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 			&Nombre d'élèves&Pourcentage&Angle en degrés\\ \hline
Lunettes	&15				&			&\\ \hline
Lentilles	&6				&			&\\ \hline
Rien		&				&30\,\%		&\\ \hline
Total		&30				&			&180\degres\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On ne demande pas le détail des calculs sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter ce tableau.
\item Réaliser le diagramme semi-circulaire (prendre un rayon de 5 cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Tracer un parallélogramme ABCD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point E image de D dans la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Sans utiliser d'autres points que ceux de la figure :
	\begin{enumerate}
		\item Donner deux vecteurs égaux à $\vect{\text{ED}}$ (sans le justifier). 
		\item Recopier et compléter les égalités suivantes :
		
\[\vect{\text{AB}} + \vect{\text{BC}} =... \qquad \vect{\text{ED}} + \vect{\text{CB}} =... \qquad \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} =... \]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les questions sont indépendantes

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\rput(2.25,0.2){Figure 1}
\psline(0,1)(4.5,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch](0.8,1)(1.4,3.6)
\psline(1.4,3.6)(4,1)%NP
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.6,1)(0.6,3.6)\rput{90}(0.45,2.3){4 m}
\uput[d](1.4,1){M} \uput[ur](1.4,3.6){N} \uput[d](4,1){P}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\rput(2.25,0.2){Figure 2}
\psline(0,1)(4.5,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch](0.8,1)(1.4,3.6)
\psline(1.4,3.6)(4,1)%NP
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.6,1)(0.6,3.6)\rput{90}(0.45,2.3){\small 4 m}
\uput[d](1.4,1){M} \uput[ur](1.4,3.6){N} \uput[d](4,1){P}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](1.4,1.6)(3.37,1.6)
\uput[ur](3.37,1.6){B}\uput[ur](1.4,1.6){A}
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.6)(3.37,1.6)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.8,1)(1.8,1.6)\uput[r](1.8,1.3){\small 1 m}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.45,1.7)(4.1,1.05)\rput{-43}(4.1,1.5){\small 1,25 m}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

Une échelle de $5$ m est appuyée sur un mur perpendiculaire au sol.

Le sommet N de l'échelle se trouve juste au sommet du mur. La hauteur du mur est de $4$ m (voir figure 1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance MP entre le pied du mur et le pied de l'échelle.
\item L’inclinaison de l'échelle par rapport au sol horizontal est la mesure de
 l'angle $\widehat{\text{MPN}}$.

Déterminer la valeur arrondie au degré de cette mesure.
\item Afin que l'échelle ne glisse pas, on tend une corde entre un anneau A situé à 1 m de hauteur sur le mur et un barreau B de l'échelle placé à $1,25$ m du bas de l'échelle (voir figure 2).

Calculer NA et NB.

La corde est-elle parallèle au sol ? 

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Vous pourrez utiliser le formulaire suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X l|l}\cline{1-2}
Périmètre du cercle :& $2\pi R$&$R$ : rayon\\ \cline{1-2}
Aire du disque :& $\pi R^2$&$R$ : rayon\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \cline{1-2}
Volume du cylindre :& $B \times h$&$B$  : aire de la base\\ \cline{1-2}
Volume du cône : &$\dfrac{B \times h}{3}$&$h$ : hauteur\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}

On dispose de 2 verres identiques de forme conique.

Les dimensions intérieures sont indiquées sur le dessin du premier verre.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(0,-0.6)(7.5,4.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(0.6,4)(2,1)(3.4,4)
\psellipticarc(2,4)(1.4,0.15){0}{180}
}
\psline[doubleline=true](2,1)(2,0.2)
\psellipticarc(2,4)(1.4,0.15){180}{360}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,1)(0.5,4)\rput{90}(0.35,2.5){9 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2,4.2)(3.4,4.2)\uput[u](2.7,4.2){4 cm}
\rput(2,-0.4){1\up{er} verre}\uput[r](2,1){S}\uput[u](2,4){O}\uput[r](3.4,4){A}
\psellipse(2,0.2)(0.8,0.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,1)(2,1)
%%%%%%
\psellipticarc(6,4)(1.4,0.15){0}{180}
\psellipticarc(6,4)(1.4,0.15){180}{360}
\psline(4.6,4)(5.25,2.5)\psline(7.4,4)(6.75,2.5)

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(5.25,2.5)(6,1)(6.75,2.5)
\psellipticarc(6,2.5)(0.75,0.1){0}{180}
}
\psellipticarc(6,2.5)(0.75,0.1){180}{360}
\psline[doubleline=true](6,1)(6,0.2)
\rput(6,-0.4){2\up{e} verre}\uput[r](6,1){S}
\uput[u](6,4){O}\uput[r](7.4,4){A}\uput[u](6,2.5){O$'$}
\psline[linestyle=dashed](6,4)(6,2.5)
\uput[r](6.75,2.5){A$'$}
\psellipse(6,0.2)(0.8,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Le premier verre est plein d'eau.
	\begin{enumerate}
		\item La surface du liquide est un disque. Calculer la valeur exacte de son aire, exprimée en cm$^2$.
		\item Calculer le volume $V_1$, exprimé en cm$^3$, de l'eau contenue dans ce verre : donner la valeur exacte de $V_1$ et la valeur arrondie au centimètre cube de $V_1$.
	\end{enumerate}
\item  Dans le deuxième verre, le niveau de l'eau arrive à mi-hauteur
(O$'$ est le milieu de [OS]).
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, en cm, la hauteur de liquide ?
		\item La surface du liquide est un disque de rayon O$'$A$'$ (voir figure).
		
Calculer, en justifiant, O$'$A$'$.
		\item Par quel nombre faut-il multiplier le volume $V_1$ du verre plein pour trouver le volume $V_2$ de liquide dans ce deuxième verre ?
		\item Peut-on dire qu'il est à moitié plein ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{QUESTIONS ENCHAÎNÉES}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L’unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 3~;~4)$, B(0~;~10), C$(7~;~- 1)$ et M milieu de [BC].
\item Calculer les coordonnées de M.
\item Calculer la valeur exacte des distances AB, AC et BC.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le centre du cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABC ?
		
Justifier.
		\item Tracer le cercle $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D symétrique de A par rapport à M.
		\item Démontrer que ABDC est un rectangle.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la droite (AB) a pour équation : $y = 2x + 10$.
		\item En déduire l'équation de la droite (CD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}