\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Amiens septembre 1996},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $A$ et $B$. Les résultats seront écrits sous forme de fractions aussi
simples que possible.

\[A = \dfrac53 - \dfrac23 \times \dfrac47 ; \qquad  B  = \dfrac{\dfrac73  + \dfrac19}{\dfrac73 - 3}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $A = 3 + \sqrt{11}$  et $B = 3 - \sqrt{11}$

Calculer $A^2 ;\, B^2 ;\, AB$.

Chaque résultat sera donné sous la forme d'une valeur exacte la plus simple possible.
\item Soient $C = \sqrt{45} \times \sqrt{10}$ et $D = 2\sqrt{50} + \sqrt{72} - \sqrt{2}$.

Comparer les nombres $C$ et $D$ après les avoir écrits sous la forme $a\sqrt 2$,\, $a$ étant un nombre entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c r}
x + y &=& 14\\
9x + 5y&=& 106
\end{array}\right.$
\item Pour un spectacle, un comité d'entreprise a acheté 14 places pour ses.
adhérents. Pour cela, il a dépensé \np{1060}~F.

Une place adulte coûte $90$ F et une place enfant coûte $50$ F.

Déterminer le nombre de places \og adultes \fg{} et le nombre de places \og enfants \fg{} achetées par le comité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Une boîte de crème glacée a la forme du tronc de pyramide ABCDEFGH ci-contre.

$\bullet~~$ABCD est un carré de centre O.

$\bullet~~$EFGH est un carré de centre O.

$\bullet~~$[SO] est la hauteur de la pyramide régulière SABCD.

$\bullet~~$ABCD et EFGH sont dans des plans parallèles.

$\bullet~~$On donne : AB $= 16$ cm, EF $= 12$ cm, OS $= 32$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-5.8)(2.7,1.2)
%\psgrid
\pspolygon(2.4,-0.9)(-1.3,-0.9)(-2.4,0.9)(1.3,0.9)%ABCD
\psline(2.4,-0.9)(-2.4,0.9)%AC
\psline(-1.3,-0.9)(1.3,0.9)%BD
\psline(1.92,-1.9)(-1,-1.9)(-1.7,-0.9)%EFG
\psline[linestyle=dashed](-1.7,-0.9)(0.92,-0.9)(1.9,-1.9)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0,-5.4)(2.4,-0.9)
\psline[linestyle=dashed](0,-5.4)(-1.3,-0.9)
\psline[linestyle=dashed](0,-5.4)(-2.4,0.9)
\psline[linestyle=dashed](0,-5.4)(1.3,0.9)
\psline[linestyle=dashed](0,-5.4)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](1.92,-1.9)(-1.7,-0.9)%EG
\psline[linestyle=dashed](-1,-1.9)(0.92,-0.9)%FH
\uput[r](2.4,-0.9){A} \uput[ul](-1.3,-0.9){B} \uput[ul](-2.4,0.9){C} \uput[ur](1.3,0.9){D}
\uput[dr](1.92,-1.9){E} \uput[dl](-1,-1.9){F} \uput[l](-1.7,-0.9){G} \uput[r](0.8,-0.9){H}
\uput[u](0,0){O} \uput[l](0,-1.2){O$'$}
\psline(-2.4,0.9)(-1.7,-0.9)%CG
\psline(-1.3,-0.9)(-1,-1.9)%BF
\psline(2.4,-0.9)(1.89,-1.9)%AE
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle SAB, calculer $\dfrac{\text{SE}}{\text{SA}}$ (justifier la réponse). En déduire $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}} = \dfrac34$.
\item Calculer SO$'$ puis la profondeur OO$'$ de la boîte.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD puis celui de la pyramide
EFGH (donner les valeurs exactes).

En déduire le volume de la boîte de crème glacée (le résultat sera arrondi au cm$^3$).
\item Le volume de cette boîte sera-t-il suffisant pour y mettre $1,5$ litre de crème glacée ?

Pour résoudre l'exercice, vous pourrez utiliser le formulaire suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{X|}}\cline{1-3}
Volume du pavé droit	&$L \times l \times h$				&$L =$ longueur\\ \cline{1-3}
Volume du cône			&$\dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}$&$l = $ largeur\\ \cline{1-3}
Volume du prisme		&$B \times h$						&$h = $ hauteur\\ \cline{1-3}
Volume de la pyramide	&$\dfrac{B \times h}{3}$			&$R =$ rayon, \, $B = $ aire de la base\\ \cline{1-3}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour cet exercice vous complèterez la figure.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-3.5)(3.2,3.7)
\pscircle(0,0){3}
\psline(3,3.7)(3,-3.5)%Delta
\psframe(3,0)(2.8,0.2)
\uput[l](-3,0){A}\uput[r](3,0){B}
\psline(-3.2,0)(3.2,0)
\psline(0,-0.1)(0,0.1)
\uput[d](0,0){O}
\uput[r](3,3.7){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité est le centimètre.

$\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de diamètre [AB].

$d$ est la droite passant par B et perpendiculaire à la droite (AB). On donne AB $= 6$.

\begin{enumerate}
\item Placer un point C Sur la droite $d$ tel que BC $= 2,5$.

Calculer AC.
\item Donner l'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\item On appelle M le deuxième point d'intersection de la droite (AC) et du cercle $\mathcal{C}$. 

Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M.
\item Construire le point N image de A par la translation de vecteur $\vect{\text{MB}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ANBM? Justifier votre réponse).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{La $6\up{e}$ question peut être traitée indépendamment des cinq  premières.}

\medskip

Une bibliothèque de prêt propose les trois formules d'abonnement suivantes:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Formule A : $60$ francs par an quel que soit le nombre de livres
empruntés.
\item[$\bullet~~$]Formule B : $30$ francs par an et $3$ francs par livre emprunté. 
\item[$\bullet~~$]Formule C : $7$ francs par livre emprunté.
\end{itemize}
\medskip
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une personne emprunte $9$ livres dans l'année. Combien paie-t-elle avec chaque formule ?
\item Avec la formule B, un lecteur a payé $51$ francs.

Combien de livres a-t-il empruntés pendant l'année? 

A-t-il eu raison de choisir la formule B ? Pourquoi?
\item Soit $x$ le nombre de livres empruntés pendant l'année. 

Exprimer, en fonction de $x$, les coûts $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$ correspondant respectivement aux formules A, B et C.
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal. On prendra pour unité graphiques :

\begin{itemize}
\item en abscisse : 1 cm pour un livre emprunté,
\item en ordonnée : 1 cm pour 5 francs.
\end{itemize}

(Placer l'origine en bas et à gauche de la feuille)

Tracer dans ce repère : la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 60$,

\phantom{Tracer dans ce repère :} la droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = 3x + 30$,

\phantom{Tracer dans ce repère :} la droite $\left(D_3\right)$ d'équation $y = 7x$.
\item À l'aide du graphique précédent, indiquer la formule la plus avantageuse suivant le nombre de livres empruntés.
\item \np{7350} personnes ont emprunté des livres au cours de l'année. La formule A a été choisie par \np{4285} personnes, la formule B a été choisie par \np{2158} personnes et la formule C par toutes les autres personnes. On veut représenter cette situation par un diagramme semi-circulaire.

Recopier et compléter le tableau suivant (les angles seront arrondis au degré).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Formule A &Formule B &Formule C &Total\\ \hline
Effectifs&&&&\\ \hline
Angles en degrés&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Construire le diagramme semi-circulaire (faire le schéma sur votre copie).
\end{enumerate}
\end{document}