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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Amiens}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Amiens septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres :
3212
\[A = \dfrac37 - \dfrac23 \times \dfrac{12}{7} ; \quad B = 2\sqrt{63} + \sqrt{28} - \sqrt{175} ; \quad 
C = \left(3 - \sqrt 5\right)\left(3\sqrt 5 + 5\right)\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$. Donner le résultat sous forme fractionnaire la plus simple possible.
\item Écrire $B$ et $C$ sous la forme $a\sqrt b$, $a$ et $b$ étant deux nombres entiers positifs et $b$ étant le plus petit possible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E= (5x - 2)^2 - (x - 8)(5x - 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(5x - 2)(2x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une classe de troisième de $28$ élèves, le professeur de mathématiques demande à chacun de ses élèves combien de temps ils regardent en général la télévision par jour.

Les résultats sont répertoriés dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
Temps passé en minutes&$0\leqslant t < 30$&$30\leqslant t < 60$&$60\leqslant t < 90$&$90\leqslant t < 120$&$120\leqslant t < 150$&$t \geqslant 150$\\ \hline
Nombre d'élèves	&1	&5 	&11	& 7	& 2	& 2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire sur votre copie l'histogramme traduisant cette situation.

Unités graphiques : $\left\{\text{\begin{tabular}{l l}
en abscisse : 2 cm pour 30 minutes.\\
en ordonnée: 1 cm pour 1 élève.
\end{tabular}}\right.$

\item Combien d'élèves regardent la télévision moins d'une heure par jour ?
\item Combien d'élèves regardent la télévision au moins deux heures par jour? 
\item Quel est le pourcentage d'élèves de la classe qui passent au moins 1 heure et moins de 1 heure 30 devant la télévision par jour? (donner le résultat arrondi à l'unité).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre.

On considère le quadrilatère ABCD et les points H
et K définis par la figure codée ci-contre.

On donne :

BC $= 8,5$ ;\quad CD $= 13$ ;\quad DK $= 4$ ;\quad BAK $= 30\degres$.

(Sur le schéma, les dimensions ne sont pas respectées)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.26\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(3.5,3.8)
\pspolygon(0.2,3.3)(0.2,0.3)(2.8,0.3)(1.2,1.3)%CDAB
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.3)(1.2,1.3)(1.2,0.3)%HBK
\psframe(0.2,0.3)(0.4,0.5)\psframe(0.2,1.3)(0.4,1.1)
\psframe(1.2,0.3)(1.4,0.5)
\uput[r](2.8,0.3){A} \uput[ur](1.2,1.3){B} \uput[l](0.2,3.3){C}
\uput[dr](0.2,0.3){D} \uput[l](0.2,1.3){H} \uput[d](1.2,0.3){K}
\psarc(2.8,0.3){0.4}{150}{180}\rput(2.2,0.45){\footnotesize $30\degres$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}

\item Justifier que le quadrilatère BHDK est un rectangle.
\item Démontrer que CH $= 7,5$. En déduire BK.
\item Calculer AB.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.44\linewidth}
En optique, une lentille B convergente placée en O donne d'un objet [AB]
une image renversée [CD].

On représente la situation  par le schéma ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.8,2.8)
\pspolygon(0,2.2)(0,0.8)(6,0.8)(6,0.2)%BACD
\psframe(0,0.8)(0.2,1)\psframe(6,0.8)(5.8,0.6)
\uput[d](0,0.8){A} \uput[u](0,2.2){B} \uput[r](6,0.8){C} \uput[r](6,0.2){D} \uput[u](4.25,0.8){O} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

On donne :

AB = 60 cm, \quad OA = 2 m, \quad  OC = 50 cm

Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la droite (AC). Les droites (AC) et (BD) se coupent en O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\item En justifiant, calculer la longueur en centimètres de l'image [CD].
\item Déterminer, par le calcul, l'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Tracer sans explications mais en numérotant bien les figures :

\begin{itemize}
\item l'image F$_1$ de la figure F par la symétrie centrale de centre A ;
\item l'image F$_2$ de la figure F par la symétrie orthogonale par rapport à la droite $(D)$ ;
\item l'image F$_3$ de la figure F par la translation de vecteur $\vect{V}$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=4mm}
\begin{pspicture}(16,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psline(4,16)(16,4)
\pspolygon(5,11)(7,9)(9,9)(7,7)%motif F
\rput(7.5,8.5){F}
\psdots(9,6) \uput[dr](9,6){A}
\psline{->}(3,1)(7,3) \uput[dr](5,2){$\vect{V}$}
\uput[dl](16,4){$(D)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{minipage}{0.57\linewidth}
Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le centimètre.

La figure ci-contre (qu'on ne demande pas de reproduire) représente un prisme droit ABCDEF dont la base ABC est un triangle rectangle en A.

On donne :

AB = 4 ;\quad AC = 6 ;\quad AD = 8.

On note M un point quelconque de l'arête [AD] et on considère la pyramide MABC de sommet M et de base ABC.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(3.8,4.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(3.2,0.6)(3.2,2.9)(0.2,2.5)%BCFE
\psline(3.2,2.9)(1.2,4.1)(0.2,2.5)%FDE
\psline[linestyle=dashed](1.2,4.1)(1.2,1.8)(3.2,0.6)%DAC
\psline[linestyle=dashed](3.2,0.6)(1.2,2.4)(0.2,0.2)%CMB
\psline[linestyle=dashed](3.2,0.6)(1.2,1.8)(0.2,0.2)%CAB
\uput[l](1.2,1.8){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[r](3.2,0.6){C}
\uput[u](1.2,4.1){D} \uput[l](0.2,2.5){E} \uput[r](3.2,2.9){F}
\uput[ur](1.2,2.4){M}
\psline(1.1,3.97)(1.28,3.83)(1.38,3.98)
\psline(1.1,1.67)(1.28,1.53)(1.38,1.69)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\textbf{Question préliminaire}

\medskip

Calculer le volume $V_1$ du prisme ABCDEF{}, exprimé en cm$^3$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on pose DM $= 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer brièvement pourquoi les triangles MAB et MAC sont des triangles rectangles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur MA.
		\item Construire la patron de la pyramide MABC.

(on pourra commencer par dessiner la base ABC au centre de la feuille).
	\end{enumerate}	
\item Calculer le volume de la pyramide MABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on pose DM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles pour $x$ ?
\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume $V$ de la pyramide MABC et montrer que 

$V = - 4x + 32$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver le volume de la pyramide MABC obtenu dans la partie A.
		\item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ telle que $V = \dfrac13 V_1$.

($V_1$ a été calculé en question préliminaire).

Où se situe le point M dans ce cas ?
		\item Peut-on avoir $V= \dfrac12 V_1$  ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}	
\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal, représenter graphiquement le volume $V$ de la pyramide en fonction de la longueur $x$. On rappelle que $V= - 4x+ 32$.

Le graphique sera fait sur votre copie, selon le modèle ci-dessous.

On prendra :

$\left\{\text{\begin{tabular}{l l}
1 cm pour unité sur l'axe des abscisses\\
1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{tabular}}\right.$

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(3,6)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(3,6)
\uput[d](2.9,0){$x$}\uput[r](0,5.9){Volume $V$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes (tracer sur le graphique, les pointillés nécessaires).
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur de $x$ pour laquelle $V = 12$~cm$^3$ ?
		\item Quel est le volume V correspondant à DM $= 2,5$ cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}