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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small septembre 1998}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Amiens septembre 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A = 2x- 4$ et $B = 6x- 20$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$ pour $x = \dfrac52$.
\item Le nombre $\dfrac52$ est-il solution de l'inéquation $2x - 4 > 6x - 20$ ?
\item Résoudre l'inéquation $2x - 4 > 6x - 20$ et représente graphiquement, sur une droite graduée, les solutions de cette inéquation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $C = 8 + \sqrt 2$ et $D = \sqrt 2 - 3$.

\smallskip

Calculer $C^2$ et $C \times D$. 

On donnera chaque résultat sous la forme $a + b\sqrt 2$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $E= (3x - 5)(2x - 1) - (3x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation: $(3x - 5) (- x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le nombre d'habitants et la superficie (en km$^2$) des départements de l'Aisne, de l'Oise et de la Somme, qui composent la région Picardie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&AISNE &OISE &SOMME&PICARDIE\\ \hline
Nombre d'habitants&\np{537259}&\np{725603}&\np{547825}&\np{1810687}\\ \hline
Superficie (en km$^2$)&\np{7369}&\np{5860}&\np{6170}&\np{19399}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la densité de la population (nombre moyen d'habitants par kilomètre carré) pour la région Picardie (on donnera l'arrondi du résultat â l'unité).
\item On veut représenter la répartition par département de la population Picarde par un diagramme circulaire.

Reproduire et compléter sur votre copie le tableau ci-dessous (les mesures seront arrondies au degré).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&AISNE &OISE &SOMME&PICARDIE\\ \hline
Nombre d'habitants&\np{537259}&\np{725603}&\np{547825}&\np{1810687}\\ \hline
Superficie (en km$^2$)&$107\degres$&&&$360\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Faire le diagramme circulaire en prenant $4$~cm pour rayon du disque.
\item Quel pourcentage de la population picarde représente le nombre
d'habitants du département de l'Oise? (On donnera la valeur arron- die au dixième.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Sur la figure ci-contre, on sait que :

CF $= 2$ cm ; CB $= 8$ cm ; CA $= 10$ cm;

(AB) $\perp$ (CB) et (CB) $\perp$ (EF). 

(Les dimensions ne sont pas respectées sur le croquis.)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.5)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.3,0.3)(4.3,3.2)%CBA
\psline(1.4,0.3)(1.4,1.1)
\uput[u](4.3,3.2){A} \uput[dr](4.3,0.3){B} \uput[l](0.3,0.3){C} \uput[ul](1.4,1.1){E} \uput[d](1.4,0.3){F} 
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
\item Calculer la longueur du segment [CE].

\item On considère le point G du segment [CA] tel que CG $= 5$ cm et le point H du segment [CB] tel que CH $= 4$ cm.

Les droites (GH) et (AB) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.67\linewidth}
La Grande Pyramide de Gizeh en Égypte est une pyramide â base carrée de $227$~m de côté et de $138$~m de haut.

(Voir croquis ci-après)

SO $= 138$ m ; AB $= 227$ m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur du volume
$V$ de la pyramide, en m$^3$.
\item On veut construire une maquette de cette pyramide à l'échelle 1/\np{1000}. 

Quelle est la hauteur $h'$ de cette nouvelle pyramide ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.7)
\psline(2.25,4.5)(0.3,0.3)(3.1,0.3)(4.2,1.8)(2.25,4.5)(3.1,0.3)%SABCSB
\psline[linestyle=dashed](2.25,4.5)(1.4,1.8)(0.3,0.3)(4.2,1.8)(1.4,1.8)(3.1,0.3)%SDACDB
\psline[linestyle=dashed](2.25,4.5)(2.25,1.05)%OS
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.1,0.3){B} \uput[r](4.2,1.8){C}
\uput[l](1.47,1.8){D} \uput[d](2.25,1.05){O} \uput[u](2.25,4.5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 8$ cm.

Construire un point E sur ce cercle tel que BE $= 5$ cm.
\item  Expliquer pourquoi le triangle BEA est un triangle rectangle en E.
\item Calculer la longueur du segment [AE] (on donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième).
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABE}}$ (on donnera l'arrondi au degré du résultat).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{\large Partie A}

\medskip

Un plan est muni d'un repère orthogonal dans lequel on prendra
comme unité le centimètre sur les deux axes.

On utilisera du papier quadrillé et on pourra placer l'origine du repère en bas et â gauche de la feuille.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, tracer les droites : 

D$_1$ : d'équation $y = 2x$.

D$_2$ : d'équation $y = 2x + 3$.

D$_3$:d'équation $y= - 3x + 15$.
\item Parmi ces droites, quelles sont celles qui sont parallèles ? Justifier.
\item Placer le point A de la droite D$_1$ d'ordonnée $y_{\text{A}} = 15$.

Calculer son abscisse $x_{\text{A}}$.
\item La droite D$_3$ coupe l'axe des ordonnées en C.

Déterminer par le calcul les coordonnées des points B et C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B}

Dans le plan rapporté au repère orthogonal précédent, on considère comme unités graphiques:

\begin{itemize}
\item en abscisse: 1 cm pour 1 heure;
\item en ordonnée: 1 cm pour 1 m$^3$.
\end{itemize}

Un robinet R déverse 2 m$^3$ d'eau par heure dans une cuve.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{On suppose la cube vide au départ} et on ouvre le robinet R.

On note: $x$ le temps, exprimé en heures, pendant lequel on laisse
ouvert le robinet R ;

$V_1$ le volume d'eau, en m$^3$, contenu dans la cuve au bout
du temps $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume $V_1$ d'eau contenu dans la cuve en fonction
de $x$.
		\item Déterminer le temps nécessaire pour que le cube contienne 15 m$^3$. (On pourra utiliser la partie A.)
	\end{enumerate}
\item \emph{En supposant maintenant que la cuve contienne déjà} 3 m$^3$ d'eau au départ, on ouvre â nouveau le robinet R.

On note: $x$ le temps, exprimé en heures, pendant lequel on laisse ouvert le robinet R ;
$V_2$ le volume d'eau, en m$^3$, contenu dans la cuve au bout du temps $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume $V_2$ d'eau contenu dans la cuve en fonction de $x$.
		\item Trouver le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans la cuve au bout de 2 heures; au bout de 3~h~30~min (on pourra utiliser la partie A.)
	\end{enumerate}
\item \emph{On suppose maintenant que la cuve contient} 15 m$^3$. 

On ferme le robinet R. On ouvre un deuxième robinet R$'$, placé au fond de cette cuve, qui permet d'utiliser l'eau qu'elle contient. 

Il laisse s'écouler 3m$^3$ par heure. 

On note: $x$ le temps, en heures, pendant lequel on laisse ouvert ce robinet R$'$ ;

$V_3$ le volume d'eau, en m$^3$, qui reste dans la cuve au bout
du temps $x$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume $V_3$ d'eau restant dans la cuve en fonction
de $x$.
\item Calculer le temps, exprimé en heures, nécessaire pour que $V_3$ soit égal â 6 m$^3$.
\item Déterminer le temps, exprimé en heures, nécessaire à la cuve pour se vider complètement  (on pourra utiliser la partie A.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}