\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Angers--Nantes juin 1995},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Angers--Nantes}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Angers--Nantes juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

On donne $A = (2x - 10)(x + 4)-(x + 4)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 2,5 points}

\medskip

Pour calculer l'aire $\mathcal{A}$ d'un trapèze, on donne, avec le dessin ci-dessous, la

formule :

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
$\mathcal{A} = \dfrac{a + b}{2} \times h$
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.57\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.8,4.2)
\pspolygon(0,0.9)(5.6,0.9)(4.6,3.7)(2.2,3.7)
\psline(3.4,0.9)(3.4,3.7)
\psframe(3.4,0.9)(3.6,1.1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.2,0.9)(3.2,3.7)\uput[l](3.2,2.3){$h$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.6)(5.6,0.6)\uput[d](2.8,0.6){$b$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.2,3.9)(4.6,3.9)\uput[u](3.4,3.9){$a$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

Calculer l'aire, en cm$^2$, d'un trapèze tel que :

\[a= \dfrac{7}{3}~\text{cm}\quad ; \quad  b = \dfrac{9}{2}~\text{cm}\quad h = 4~\text{cm}.\]

On donnera la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis la valeur arrondie au mm$^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 3,5 points}

\medskip

Voici, ci-après, un tableau (incomplet) indiquant la production voitures particulières, en 1993, de trois constructeurs français :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Constructeurs &Renault &Peugeot&Citroën&Production totale\\ \hline
Effectif &\np{1264628}&\np{946988}&&\np{2836280}\\ \hline
Fréquence en \,\%&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier, en le complétant, le tableau ci-dessus.
\item Quel nombre de voitures aurait produit le constructeur Renault s'il avait eu la possibilité d'augmenter sa production de 3\,\% ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 : \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{7}x + \phantom{7}y &=& 20 \\
7x + 4y &=& 104
\end{array}\right.\]

\item Un camion transporte 20 caisses de masses différentes : les unes pèsent $28$ kg, les autres $16$ kg.

Sachant que la masse totale de ces caisses est $416$ kg, combien y a-t-il de caisses de chaque catégorie ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

La figure concernant cet exercice se fera sur une feuille millimétrée.

 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points : A$(-2~;~-3)$ ; B(2~;~5) et C(8~;~3).
\item Donner une équation de la droite (AB) (on ne demande pas de
justifier).
\item Démontrer que le milieu M du segment [AC] a pour coordonnées (3~;~0).
\item On place le point D tel que ABCD est un parallélogramme. 

Calculer les coordonnées du point D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

(Dans cet exercice on réalisera le dessin demandé sur une feuille à part.)

On commencera le dessin au centre de la feuille.

On considère un losange ABCD tel que AC $= 6$ cm et BD $= 4 $cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.8)(1.1,1.8)
\pspolygon(-1.1,0)(0,-1.6)(1.1,0)(0,1.6)%BADC
\uput[l](-1.1,0){B} \uput[d](0,-1.6){A} \uput[r](1.1,0){D} \uput[u](0,1.6){C}
\rput(0,0){$\mathcal{L}_1$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le losange ABCD en vraie grandeur. On appelle  $\mathcal{L}_1$ ce losange.
\item Construire le symétrique $\mathcal{L}_2$ du losange $\mathcal{L}_1$ par rapport à la droite (AD).
\item Construire l'image $\mathcal{L}_3$ du losange $\mathcal{L}_1$ dans la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$.
\item Construire l'image $\mathcal{L}_4$ du losange $\mathcal{L}_1$ dans la translation de vecteur $\vect{\text{CB}} + \vect{\text{CD}}$.

(Les lettres $\mathcal{L}_2$ ,$\mathcal{L}_3$ ,$\mathcal{L}_4$ seront écrites sur le dessin.) 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Pour cet exercice on donne les valeurs suivantes : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{X}}
$\sin 30\degres = \dfrac{1}{2}$&$\cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\tan 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\
$\sin 60\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\cos 30\degres = \dfrac{1}{2}$&$\tan 30\degres = \sqrt{3}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

On considère un pavé droit ABCDEFGH. On donne :

CG $= 4$~cm

$\widehat{\text{CEG}} = 30\degres \quad  \widehat{\text{GEF}} = 60\degres \quad  \widehat{\text{CGE}} = 90\degres$.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Sur le dessin ci-contre, qu'on ne demande pas de reproduire, les
dimensions et les proportions ne sont pas respectées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le segment [EG] mesure $4\sqrt{3}$~cm.
\item Calculer la mesure exacte de l'arête [FG].
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(4,3.3)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.7,2)%FGCB
\psline(2.7,0.2)(3.6,1.3)(3.6,3.1)(2.7,2)%GHDC
\psline(3.6,3.1)(1.1,3.1)(0.2,2)%DAB
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,1.3)(3.6,1.3)%FEH
\psline[linestyle=dashed](1.1,3.1)(1.1,1.3)(3.6,3.1)%AED
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.3)(2.7,0.2)%EG
\psarc(1.3,1.3){0.3}{-52}{54}
\uput[ul](1.1,3.1){A} \uput[l](0.2,2){B} \uput[dr](2.7,2){C} \uput[ur](3.6,3.1){D}
\uput[ul](1.1,1.3){E} \uput[dl](0.2,0.2){F} \uput[dr](2.7,0.2){G} \uput[r](3.6,1.3){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}



\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

On considère un cercle de centre O et de rayon 4 cm. 

On note [AB] un diamètre de ce cercle. 

La médiatrice du segment [OB] coupe le cercle en C et D, et coupe la droite (OB) en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le triangle ABD est un triangle rectangle.
\item Justifier que OC = OD et que OD = DB.
\item Démontrer que le quadrilatère ODBC est un losange.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur MC.
\item Placer sur la droite (CB) le point E tel que CE $= 3$ CB et tel que B soit sur le segment [CE].

On note F le projeté orthogonal de E sur la droite (CD).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (MB) et (EF) sont parallèles.
		\item Calculer les longueurs FE et FC.
	\end{enumerate}
\item On appelle G le symétrique du point E par rapport à la droite (CF).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points C, O, G sont alignés.
		\item Démontrer que le triangle CGE est un triangle équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}