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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Antilles--Guyane}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\left(x^2 - 25\right) - (2x - 10)\left(3x + \dfrac72\right).\\
g(x)&=&(x + 1)^2 - 9(x - 3)^2.
\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes $f(x)$ et $g(x)$.

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:
\[f(x) = 0 ;\qquad g(x) = 0 ;\qquad f(x) = g(x).\]
\item Déterminer les réels $f(0) ;\: f(5) ; \:g\left(3 + \sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement du réel $g\left(3 + \sqrt 3\right)$.
\item On définit la fonction $q$ telle que 
\[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Préciser l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $q$.

Montrer que dans $\mathcal{D}$, on a
\[q(x) = \dfrac{5x+2}{8(x - 2)}.\]
\item Résoudre l'équation $q(x) = 1$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, ,B et
C. donnés par leurs coordonnées : 
\begin{center}A$\left(\dfrac12~;~1\right)$,\qquad  B$\left(\dfrac52~;~- 3\right)$, \qquad C$\left(- \dfrac32~;~0\right)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}}$,\: $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

En déduire. la nature du triangle (A, B, C).
\item Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = \dfrac12 x - \dfrac74$ contient les milieux I et J des bipoints (A, B) et (B, C).

Représenter cette droite dans le repère \Oij.
\item Déterminer les coordonnées du point K tel que le quadrilatère (A, C, K, I) soit un carré. 

Démontrer que les points K, I et J sont alignés.
\item Soit H le point de la droite $(D)$ qui a même ordonnée que B.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de H.
		\item Trouver les coordonnées du milieu E du bipoint (C, H). 
		\item 	Démontrer que l'on a
\[\vect{\text{BE}} = \dfrac32\vect{\text{BK}}.\]

En déduire que les points B, K et E sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le triangle (H, B, C) est isocèle.

En déduire que les droites (KB) et (CD) sont orthogonales.
\end{enumerate}
\end{document}