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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles \:juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaire $x'$O$x$, $y'$O$y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, en prenant 1 cm pour unité, la droite, $(D)$, d'équation $y = 2x - 3$.

On prend sur $x'$O$x$ un point quelconque A et, sur $y'$O$y$, un point B tel que 

$2\overline{\text{OB}} = \overline{\text{OA}}$.
\item En supposant $\overline{\text{OB}} = 2$, montrer que la droite $(L)$ passant par les points A et B est perpendiculaire à $(D)$.
\item Calculer les coordonnées du point M intersection de la droite $(D)$ et de la droite $(L)$ passant par B tel que $\overline{\text{OB}} = 4$.
\item Étant donné sur la droite $(D)$ un point P d'abscisse $-1$, on trace par P la perpendiculaire à la droite $(D)$, qui coupe $x'$O$x$, en A$_1$ et $y'$O$y$ en B$_1$.

Calculer les coordonnées de A$_1$ et B$_1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un segment de droite [BD] de longueur 18 cm on prend les points H, A$'$, C tels que

\[\text{BC} = \dfrac{\text{BD}}{2}, \qquad \text{BA}' = \dfrac{\text{BC}}{2}, \qquad \text{BH} = \dfrac{\text{BA}'}{2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle rectangle C$'$BD ayant [BD] pour hypoténuse, H étant le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse.

Calculer la longueur du côté [BC].
\item On prolonge BC$'$ d'une longueur C$'$A égale à BC$'$ et l'on trace [AC].

Quelle est la nature du triangle BAC ? Calculer la longueur de ses médianes.
\item On mène par A une tangente au cercle de diamètre [BD] ; elle touche ce cercle en T.

Calculer la longueur du segment [AT].
\item Soit B$_1$ le point où la parallèle menée par C$'$ à (BC) coupe (AC).

Démontrer que les triangles B$_1$BC et C$'$AB$_1$ sont semblables ; donner leur rapport de similitude.
\item Construire un triangle isocèle dont la base et les médianes relatives aux côtés égaux ont même longueur, $6$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}