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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En appliquant la relation 

\[A^2 - B^2 = (A + B) (A - B),\]

décomposer l'expression $E$,
\[E = \left(\dfrac34 x - 2\right)^2 - \left(\dfrac54 x - 5\right)^2\]

en un produit de facteurs, puis résoudre l'équation $E= 0$.
\item Résoudre algébriquement le système
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad  &2x- y&=&7,\\
(2)\qquad &x + 2y&=& 6.
\end{array}\right.\]

Vérifier le résultat en représentant sur un même graphique les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ayant respectivement pour équation les équations (1) et (2).
\item L'axe $y'y$ coupe $\left(D_1\right)$ en A et $\left(D_2\right)$ en B.

Les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en C.

Quelle est la forme du triangle ABC ?

Calculer la longueur des trois côtés.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit C le milieu du la demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et soit M un point variable de l'arc $\widearc{\text{CB}}$.

Le segment [AM] coupe [OC] en S.

La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{COM}}$ coupe (AM) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les angles $\widehat{\text{CAM}}$ et $\widehat{\text{COM}}$, puis les angles $\widehat{\text{CAM}}$ et $\widehat{\text{COI}}$.

En déduire que le quadrilatère CAQI est inscriptible.

Préciser la position du centre du cercle circonscrit.
\item Montrer que (CI) est perpendiculaire à (AI).

Sur quelle courbe se déplace le point I lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{CB}}$ ?
\item Établir la similitude des triangles SOA et BMA.

En déduire la relation 
\begin{center}AS $\cdot$ AM $= 2R^2$.\end{center}

Montrer que $\dfrac{\text{IS}}{\text{IM}} = \dfrac{\text{OS}}{\text{OM}}$ et que chacun des deux rapports vaut $\tan \widehat{\text{OAS}}$.
\item On suppose que (AM) passe par le milieu D de [OC].

Calculer dans ce cas particulier AD, AM, MB en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}