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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small Antilles}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs chacun des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& (x - 5) (3x - 8) + (x - 5)^2 + 2x^2 - 50, \\
B(x)&=& 3x - 15 + x(5 - x).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Calculer la valeur prise par cette fraction pour

\[x = 0, \quad x = - \dfrac23,\quad x = \dfrac12.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère un losange ABCD dont la base AB est fixe (AB $= a$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lieu du point de rencontre, O, de ses diagonales, lorsque [CD] varie.
\item On mène par D la parallèle à (AC).

Montrer qu'elle coupe la droite (AB) en un point fixe B$'$.
\item On suppose que $\widehat{\text{BAD}}= 60\degres$.

Calculer les longueurs des diagonales [AC] et [BD] en fonction de $a$.

On désigne par E le second point d'intersection de la droite (B$'$D) et du cercle circonscrit au triangle ABD ; évaluer B$'$E.
\item Montrer que, pour que la droite (B$'$D) soit tangente au cercle circonscrit au triangle ABD, il faut que le triangle AOD soit isocèle.

Que peut-on dire alors du losange ABCD ?
\end{enumerate}
\end{document}