\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Antilles-Guyane juin 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane }}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles-Guyane  juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'équation
\[\dfrac{x + 10}{x - 5 } + \dfrac{3 - 2x}{x + 1} = m\]

où $x$ est l'inconnue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation dans les deux cas suivants:
	\begin{enumerate}
		\item lorsque $m = - 1$;
		\item lorsque $m = + 1$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer une valeur approchée, avec deux décimales, du nombre

\[m = - \dfrac{8 + 11\sqrt 2}{3 + \sqrt 2}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Les bases d'un trapèze ABCD, rectangle en A et D, ont respectivement pour longueur : 

AB $= 2a$ \quad ;\quad  DC $= a$.

La hauteur [AD] a pour longueur $a\sqrt 2$\: ($a$ étant une longueur donnée).

Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en I. La parallèle aux bases menée par I coupe [AD] en M et [BC] en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les rapports $\dfrac{\text{ID}}{\text{IB}}$ et $\dfrac{\text{IC}}{\text{IA}}$.

Calculer MI et IN en fonction de $a$.

Que peut-on dire du point I ?
\item Calculer en fonction de $a$, les longueurs des segments
[BC], [BD], [AC], [IA], [IB].
\item Montrer que les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}