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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles-Guyane juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On appelle $F(x)$ la quantité
\[F(x) = \dfrac{2x + 3}{2x - 3} + \dfrac{2x - 3}{2x + 3} - \dfrac{4x^2 + 22}{4x^2 - 9}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x,\: F(x)$ n'a-t-elle pas de sens ?

Ces valeurs étant éliminées, prouver que 
\[F(x) = \dfrac{4x^2 - 4}{4x^2 - 9}.\]
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $F(x) = 0$ ?
\item Combien existe-t-il de valeurs de $x$ pour que $F(x) = 6$ ?

Les calculer à $\dfrac{1}{10}$ près.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Deux cercles de centres O et O$'$, de rayons $R$ et $R'$, sont tangents extérieurement en A.

Une tangente commune extérieure les touche en B et B$'$,

\medskip

\begin{enumerate}
\item I étant le point d'intersection de (BB$'$) et (OO$'$),
montrer que
\[\dfrac{\text{IO}}{\text{IO}'} = \dfrac{\text{AO}}{\text{AO}'} = \dfrac{R}{R'}.\]
\item La tangente commune intérieure aux deux cercles coupe (BB$'$) en M.

Montrer que M est le milieu de [BB$'$] et que le triangle BAB$'$ est rectangle en A.

\item Prouver que IM $= \dfrac{\text{PB} + \text{PB}'}{2}$ et calculer $\dfrac{\text{IM}}{\text{IB}'}$ en fonction de $R$ et $R'$.

\end{enumerate}
\end{document}