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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}
\medskip

On donne l'expression
\[A(x) = (2x - 5) (x - 1)^2 - 4(2x - 5).\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer, réduire les termes semblables et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de trois facteurs du premier degré.

Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x)$ est nul.
\item Simplifier la fraction rationnelle 
\[B(x) = \dfrac{(2x - 5) (x - 1)^2 - 4(2x - 5)}{(x + 1)^2(x - 3)}.\]

\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $B(x)$ est égale à 1.
\item Représenter sur un même graphique les fonctions
\begin{center}$y = 2x - 5$\qquad  et \qquad $y = x + 1$.\end{center}

Montrer que l'on peut utiliser ce graphique pour résoudre la question 4.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une droite $xy$ on considère le segment [AB] mesurant $35$~mm et un point C, extérieur à [AB], tel que
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}  = \dfrac{12}{5}.\]
Calculer CA et CB.
\item On trace le cercle de diamètre [AB], puis on élève en C la perpendiculaire $D$ à $xy$.

On prend sur $D$ un point P ; (AP) recoupe le cercle en E.

Démontrer que les triangles ACP et AEB sont semblables.

Évaluer le produit AP $\times$ AE.

Lorsque CP $= 45$~mm, calculer AP et AE.
\item Montrer que le quadrilatère BCPE est inscriptible dans un cercle.

Préciser la position du centre O de ce cercle et évaluer son rayon lorsque CD $= 45$~mm.
\item Sur quelle ligne se déplace le centre O lorsque P se déplace sur $D$ ?
\end{enumerate}
\end{document}