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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles\footnote{Venezuela} juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE} 

\smallskip

On donne
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&x^2 + (x - 2)(3x - 1) - (2 - x)^2 - 4,\\
B(x) &=&x^3 + 2x^2 + x.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $A(x)$, puis $B(x)$, sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Simplifier l'expression $y(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Ce calcul est-il toujours possible ? 
\item Calculer $A(x)$ pour $x = 0,\: x = 2$ et $x =- 2$.

Calculer $y(x)$ pour $x = \sqrt 2$.
\item Représenter graphiquement, dans un même système d'axes, les fonctions
\begin{center}$y_1 = x$, \qquad $y_2 =  x + 1$,\qquad $y_3 = 3 (x - 2)$.\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$ et de centre O, on prend les points M et P tels que l'arc $\wideparen{\text{AM}}$ soit égal à $30\degres$ et l'arc $\wideparen{\text{MP}}$ à $60\degres$.

Les cordes [AM] et [BP] se coupent en C ; (AP) et (BM) se coupent en I ; (CI) et (AB) se coupent en J.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les angles du triangle ABC.

Que représente I pour ce triangle ?

Nature du triangle JBC.
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs BP, IP et AC.
\item On prolonge [CO] d'une longueur OD = OC.

Nature du quadrilatère ACBD ?

Montrer que le quadrilatère AIBD est inscriptible.
\end{enumerate}
\end{document}