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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles-Guyane juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les fonctions
\[y= -3x + 6,\qquad y = - 3x -3.\]
Tracer leurs graphes respectifs, $(D)$ et $(D')$.

Que peut-on dire de $(D)$ et $(D')$ ?

Calculer les coordonnées des points:

\begin{itemize}
\item A et B d'intersection de $(D)$ avec $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ ;
\item A$'$ et B$'$ d'intersection de $(D')$ avec $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.
\end{itemize}

\item Soit M le milieu de [AB] et M$'$ celui de [NB$'$].

Quelle est l'équation de la droite (OM) ?

Montrer qu'elle passe par M$'$.
\item Quelles sont les équations des droites (NB) et (B$'$A) ?

Montrer que les droites (NB), (AB$'$) et (MM$'$) sont concourantes en un point I, dont on calculera les coordonnées.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit [OA] un rayon du cercle de centre O et de rayon $R$.

Par le point M du segment [OA] tel que $\dfrac{\text{MO}}{\text{MA}} = 2$, on
trace la droite perpendiculaire à (OA) ; elle coupe le cercle en B et en C.

Soit D et E les points diamétralement opposés à C et A sur le cercle et N l'intersection de (BD) avec la parallèle à (OC) menée par M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que NO est parallèle à BC.

Calculer en fonction de $R$ les mesures de BD et BC.
\item La tangente en B au cercle coupe la droite (OA) en P.

Montrer que les triangles PMB et CBD sont semblables.

Quel est le rapport de similitude du triangle PME au triangle CBD ?

Calculer les mesures de PM et PB en fonction de $R$ et vérifier que 
\[\overline{\text{PA}}  \cdot \overline{\text{PE}} = \text{PB}^2.\]

\item Démontrer que les points O, C, P et B sont sur un même cercle, dont on précisera le centre O$'$ et la mesure du rayon $R'$ en fonction de $R$.

\end{enumerate}
\end{document}