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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner
\[A(x) =(2x - 1)(3x - 2).\]
\item Décomposer en produits de facteurs du premier degré:
\[\begin{array}{l c l}
B(x) &=& x^2 - 6x + 9;\\
C(x) &=& (2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 2) ;\\
D(x) &=& (2x + 1)^2 - (x - 3)^2.
\end{array}\]

\item Simplifier l'expression 
\[Q(x) =  \dfrac{(2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 2)}{(2x + 1)^2 - (x - 3)^2} \times \dfrac{(6x^2 - 7x + 2)(x + 4)}{(2x + 1)\left(x^2 - 6x + 9\right)}.\]

Soit $Q'(x)$ la forme simplifiée.
\item Déterminer $x$ pour que
	\begin{enumerate}
		\item $Q(x) = 1$ ;
		\item $Q(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 1$\qquad  et \qquad $y_2 = x - 3$.\end{center}

Comment peut-on retrouver les résultats du 4. ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Par le milieu, O, d'un segment de droite [AB] de longueur $2a$, on mène la perpendiculaire à (AB), sur laquelle on prend une longueur OC $= \dfrac a3$.

On trace la droite (AC) et de B, on mène la perpendiculaire (BD) à (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AOC et ADB.
\item Calculer en fonction de $a$ les longueurs des segments [AC], [AD], [BD] et de la hauteur [DH] du triangle ADB.
\item On prolonge [CO] au-delà de O d'une longueur OE $= a$ et l'on trace (DE), qui coupe (AB) en M.

Démontrer que les quatre points A, D, B et E sont sur un même cercle.

Que représente la droite (DE) pour l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ ?
\item Calculer les longueurs AM et MB.
\end{enumerate}
\end{document}