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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Antilles--Guyane}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit $A$ et $B$ les fonctions polynômes suivantes :
\[\begin{array}{l l c l}
A :& \R&\to&\R\\
	&x& \longmapsto&16x^2 - 9\\
B :& \R& \to &\R\\
&x &\longmapsto&(4x - 3)^2 - 16x^2 + 9 - (x - 8)(4x - 3)
\end{array}\]


\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $B(x)$.
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits de facteurs.
\item En déduire les solutions de l'équation : $A(x) = B(x)$.
\item Soit $F$ la fonction rationnelle définie par :
\[\begin{array}{l l c l}
F :& \R&\to&\R\\
& x&\longmapsto&\dfrac{B(x)}{A(x)}
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de $F$ ?
		\item Simplifier l'écriture de $F(x)$.
		\item Résoudre l'équation : $F(x) = 1$
	\end{enumerate}
\item  Soit $G$ la fonction rationnelle définie par : $G(x) = \dfrac{B(x)}{2 - x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier l'écriture de $G(x)$ après avoir donné l'ensemble de définition de la fonction $G$.
		\item Représenter graphiquement la fonction $G$.
		\item Trouver si elles existent les solutions des équations :
\[G(x) = 3\qquad ; \qquad G(x) =5.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C définis par:


\[\vect{\text{OA}} =2\vect{\imath} +3\vect{\jmath}\:;\qquad \vect{\text{OB}} = 3\vect{\imath} + \vect{\jmath}\:;\qquad \vect{\text{OC}} = 6\vect{\imath} + \dfrac52\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes et la norme des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Soit $\omega$ le milieu de (A, C) . Montrez que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux puis déterminer les coordonnées du point D symétrique de B
par rapport à $\omega$. 

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{A}\omega}$.

On considère le point E tel que $t$(B) = E.

Déterminer les coordonnées de E. 

Calculer $d$(A, E), $d$(D, E).

Quelle est la nature du triangle (A, D, E) ?
\item Montrez que $\omega$ appartient à la médiatrice de [BC]. 

Déterminer une équation de la droite ($\omega$E).
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

Calculer $\sin \alpha$ et $\cos \alpha$.
\end{enumerate}
\end{document}