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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Antilles-Guyane}
\lfoot{\small juin 1986}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y -10&=&0\\
3x - 2y  - 2&=&0.
\end{array}\right.\]

\item Dans le plan rapporté à un repère ·orthonormé
\Oij{} on considère les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives :

\begin{center}$d_1 :\quad 2x + 3y - 10 = 0$ et  $d_2 :\quad 3x -2y - 2 = 0$.\end{center}

Construire les droites $d_1$ et $d_2$.
\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et $d_2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

On considère l'application $f$ définie dans $\R$ par :
\[f(x) = (4x - 2)(x - 3) - (2x - 1)(x - 6) - 4x^2 + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Calculer $f(0), \quad f\left(-\dfrac32\right), \quad f\left(1 -\sqrt 2\right)$.
\item Sachant que $1,414\leqslant \sqrt 2\leqslant 1,415$,
donner un encadrement de $f\left(1 -\sqrt 2\right)$ à $10^{-2}$ près.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation$f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III.}

\medskip

L'exercice suivant sera accompagné d'un dessin soigné.

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B, C dont les coordonnées sont les suivantes :

\begin{center}
A$(-3~;~2)$, \qquad  B$(2~;~-3)$, \qquad C(7~;~2).\end{center}

\item Calculer les coordonnées du point M miIieu du segment [AC].
\item Calculer les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à M.

Placer le point D.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ 
puis la norme de chacun d'eux : $\|\vect{\text{AB}}\|, \:\|\vect{\text{AB}}\|, \: \|\vect{\text{BC}}\|$.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}