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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression

\[F(x) = (2x - 1)^2 - (2x - 1)(1 - x).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F(x)$.
\item Factoriser $F(x)$.
\item Calculer $F(x)$ pour $x$ prenant les valeurs : $\dfrac23$ et $\sqrt 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le document ci-après est une partie d'une page d'un carnet de notes d'une classe. Il y figure des prénoms d'élèves et leur dates de naissance.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prénom		&Date de naissance\\ \hline
Christelle	&3/03/75\\ \hline
David		&5/10/74\\ \hline
Alfred		&12/01/76\\ \hline
Daniel		&4/05/75\\ \hline
Aline		&7/10/77\\ \hline
Aurélie		&1/01/75\\ \hline
Hervé		&9/11/76\\ \hline
Michel		&25/02/76\\ \hline
Liliane		&25/11/76\\ \hline
Olivier		&13/11/77\\ \hline
Steeve		&6/08/74\\ \hline
Anne-Paul	&25/09/76\\ \hline
Georges		&14/04/75\\ \hline
Jean-François&1/10/76\\ \hline
Vanessa		&3/09/75\\ \hline
Bertrand	&14/05/76\\ \hline
Pierre		&10/04/75\\ \hline
Fabrice		&18/08/76\\ \hline
Gérard		&5/07/76\\ \hline
Jacques		&30/03/74\\ \hline
Laurent		&10/06/73\\ \hline
Alain		&26/07/76\\ \hline
Claude		&3/03/76\\ \hline
Géraldine	&17/06/75\\ \hline
Philippe	&1/08/76\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'effectif de la classe?
\item Reproduire et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année de naissance	&1973 	&1974 	&1975 	&1976 	&1977\\ \hline
effectif			&		&		&		&		&\\ \hline
fréquence en \,\%	&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Réaliser le diagramme en bâtons des effectifs.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

SABCD est une pyramide régulière de sommet S et dont la base
ABCD est un carré de centre H et de côté $8$~cm.

L'arête [SA] mesure $9$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter en grandeur réelle le triangle SAB.
\item Calculer AC.
\item Calculer SH puis la valeur arrondie au cm$^3$ près du volume de la pyramide SABCD. (On rappelle que le volume d'une pyramide est égal à $\dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire de la base et $h$
la hauteur de la pyramide).

\item Soit A$'$ le point du segment [SA] tel que SA$'$ vaut $3,6$~cm. 

Le plan passant par A$'$ et parallèle au plan de la base coupe respectivement les segments [SB], [SC] et [SD] en B$'$, C$'$ et D$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère A$'$B$'$C$'$D$'$ ? Justifier la réponse.
		\item Calculer A$'$B$'$.
		\item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ arrondi au cm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.3)(2.4,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,3.3)(-2,-1.1)(0.5,-1.1)(0,3.3)(2,1.1)(0.5,-1.1)%SABSCB
\pspolygon[linestyle=dashed](-2,-1.1)(-0.5,1.1)(2,1.1)%ADC
\pspolygon[linestyle=dashed](0.5,-1.1)(-0.5,1.1)(0,3.3)(0,0)%BDSH
\psline(0,0.18)(0.18,0.27)(0.18,0.06)
\uput[dl](-2,-1.1){A} \uput[dr](0.5,-1.1){B} \uput[r](2,1.1){C}
\uput[l](-0.5,1.1){D} \uput[d](0,0){H} \uput[u](0,3.3){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), l'unité
étant le centimètre, on considère les points A (6~;~0) et B (0~;~8).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (AB). 

Tracer la droite (AB).
\item Soit H le pied de la hauteur relative au côté [AB] dans le triangle OAB.

Construire H et déterminer graphiquement des valeurs approchées de ses coordonnées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le coefficient directeur de la droite (OH)
 est égal à $\dfrac34$.
		\item En déduire une équation de la droite (OH).
		\item Calculer les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}	
\item Soit M$(x~;~y)$ un point du segment [AB] distinct de A et de B. 

On appelle E et F les projetés orthogonaux de M respectivement sur les droites (OA) et (OB).
	\begin{enumerate}
		\item Quelle relation existe-t-il entre $x$ et $y$ ?
		\item Montrer que MEOF est un rectangle.
		\item Montrer que le périmètre en centimètres de MEOF vaut

$-\dfrac23 x + 16$.
		\item Déterminer l'aire en cm$^2$ de MEOF sachant que son périmètre vaut $14$~cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}