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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge{\textbf{\decofourleft~Brevet - Antilles--Guyane
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants. On donnera chaque résultat sous
forme d'un entier ou d'une fraction:

\[A = \left(- \dfrac{21}{6}\right) : 3 \:; \quad  B = \dfrac34 \times (- 2)^3 \:; \quad  
C = \left(2\sqrt 6 - 1\right)\left(2\sqrt 6 + 1\right)\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $D = (x + 3)^2 - (x + 3)(5 - 2x)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les employés d'une entreprise sont répartis en quatre classes de salaires, comme l'indique le diagramme ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(5,36)
\multido{\n=0.0+2.5}{15}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(5,\n)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,35)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(0,0)(5,36)
\uput[u](4.6,0){salaires}\uput[r](0,37){Pourcentages}
\uput[d](0.5,0){\scriptsize $\np{4000} \leqslant s < \np{5500}$}
\uput[d](1.5,0){\scriptsize  $\np{5500} \leqslant s < \np{7000}$}
\uput[d](2.5,0){\scriptsize  $\np{7000} \leqslant s < \np{8500}$}
\uput[d](3.5,0){\scriptsize  $\np{8500} \leqslant s < \np{10000}$}
\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(1,17.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](1,0)(2,27.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](2,0)(3,30)
\psframe[linewidth=1.25pt](3,0)(4,25)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\emph{Exemple} : la classe \og $\np{4000} \leqslant s < \np{5500}$ \fg{} signifie que l'on a regroupé les salaires compris entre \np{4000}~F et \np{5500} F.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}c|}\hline
\small Classe de salaire&$\np{4000} \leqslant s < \np{5500}$&$\np{5500} \leqslant s < \np{7000}$&
$\np{7000} \leqslant s < \np{8500}$&$\np{8500} \leqslant s < \np{10000}$&\small TOTAL\\ \hline
\small Pourcentage&&&&&100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'effectif de la classe \og $\np{7000} \leqslant s < \np{8500}$ \fg{} est de 96. 

Déterminer le nombre total d'employés de l'entreprise.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Observer la figure.

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(13,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,subgriddiv =1]
\psdots(1,8)(5,5)(6,8)(6,2)(10,5)(11,8)(11,2)
\uput[ul](1,8){A} \uput[ul](5,5){O} \uput[ul](6,8){N} \uput[ul](6,2){B}
\uput[ul](10,5){D} \uput[ul](11,8){C} \uput[ul](11,2){M}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les quatre égalités suivantes sans justifier: a) OD : ...N
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{\text{OD}} = \vect{\text{\ldots N}}$
		\item $\vect{\text{M\ldots}} = \vect{\text{BA}}$
		\item $\vect{\text{NO}} + \vect{\text{NC}} = \ldots$
		\item $\vect{\text{BM}} + \vect{\text{MA}} =  \ldots$
	\end{enumerate}	
\item Déterminer, sans justification, l'image du triangle NOB par la translation de vecteur $\vect{\text{AN}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la figure ci-dessous où les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 

On donne les mesures suivantes : OA $= 3$ cm; OB $= 2$ cm; OC $= 5$ cm.

(Les dimensions ne sont pas respectées sur la figure).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,4.6)
\psline(8.4,0.2)(0.2,0.2)(7.6,4.2)%COD
\psline(2,3.9)(6,0)%BA
\psline(4.4,4.1)(8.4,0)%DC
\uput[dl](5.7,0.2){A} \uput[l](3.8,2.2){B} \uput[dl](8.1,0.2){C} \uput[u](5.6,3){D} \uput[l](0.2,0.2){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, SABC est une pyramide de hauteur [SA] et de base le

triangle ABC.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.7,5.5)
\pspolygon(0.2,4.9)(0.2,0.2)(4.3,0.2)%SAC
\psline[linestyle=dashed](0.2,4.9)(1.5,1.4)(0.2,0.2)%SBA
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.4)(4.3,0.2)%BC
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)\psline(0.2,0.45)(0.45,0.65)(0.45,0.4)
\uput[u](0.2,4.9){S} \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ur](1.5,1.4){B} \uput[dr](4.3,0.2){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

On donne les mesures suivantes:

\begin{center}SA $= 8$ cm ;\quad AB = AC $= 6$ cm et \quad $\widehat{\text{BAC}} = 50\degres$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs SC et SB.
\item Soit I le milieu du segment [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner, en vraie grandeur, dans le plan de la feuille, le triangle 
ABC.
		\item Que représente la droite (AI) pour le triangle ABC ?
		\item Calculer la longueur IC (on donnera sa valeur approchée au millimètre près).
		\item En déduire la longueur BC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) d'unité 1 cm, on considère les points:

\begin{center}A(5~;~5);\quad  B(2~;~1) ;\quad C(2~;~6).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le repère.
\item Calculer les distances AB, BC et CA.

Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
\item Vérifier par le calcul que l'équation de la droite (AC) est : 

\[y= -\dfrac13 x + \dfrac{20}{3}\]

\item Soit $\Delta$ la perpendiculaire à (AC) passant par le point B.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère.
		\item On appelle P le point d'intersection des droites $\Delta$ et (AC).
		
Pourquoi P est-il le milieu du segment [AC] ?
		\item Montrer que le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est $+ 3$.
		\item Déterminer l'équation de la droite $\Delta$
	\end{enumerate}
\item  Résoudre le système: $\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& -\dfrac13 x + \dfrac{20}{3}\\
y &=& \phantom{-}3x - 5
\end{array}\right.$

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{document}