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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles-Guyane septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression algébrique 

\[A = \left(9x^2 - 4\right)^2 - (3x + 2)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $A$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Reprendre la première forme de $A$ et la mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$.
\item Utiliser au mieux les trois formes de $A$ pour calculer simplement la valeur numérique de $A$ pour 
\[x = 0,\quad  x=-\dfrac32,\quad x =  1,\quad  x = \dfrac{\sqrt 3}{3}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On trace un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$ et un diamètre [AB] de ce cercle.

Soient I le pied de la médiatrice $(D)$ du rayon [OB] et M un point quelconque du cercle ; les droites (AM) et (BM) rencontrent $(D)$ respectivement en N et P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ANI et PBI sont semblables.

En déduire que 
\begin{center}IN $\times$ IP = IA $\times$ IB $= \dfrac{3R^2}{4}$.\end{center}
\item Le cercle circonscrit au triangle ANP recoupe (AB) en C.

Montrer que C reste fixe quand M décrit le cercle $\mathcal{C}$.
\item $(D)$ rencontre le cercle $\mathcal{C}$ en E et F{}.

On suppose que M est au milieu de l'arc  $\widearc{\text{AEB}}$.

Calculer en fonction de $R$ les mesures FB, NM, PN, NF{}.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} La question 3. peut se traiter indépendamment des deux autres.}
\end{document}