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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1965}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles septembre 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne les expressions :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& (2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 1),\\
B(x)&=& (x + 4)(2x - 4) - 2(2x + 8)(x - 2).
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire ces deux expressions.
\item Les mettre sous forme de produit de facteurs du premier degré.
\item Simplifier $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; soit $y(x)$ l'expression simplifiée.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $y(x) = 0$,\: $y(x) = 1$ ?
\item Représenter sur un même graphique les variations des fonctions 
\begin{center}$y_1 =2x + 3$,\qquad et \qquad $y_2 = 4 - 2x$\end{center}
 (unité de longueur sur les axes : 2 cm).

Calculer les coordonnées du point P commun aux courbes représentatives (ou graphes) de ces deux fonctions.

Écrire l'équation de la droite passant par P et perpendiculaire à la droite (OP).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$, O son centre, C le milieu de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$, T le milieu du segment [OC].

(AT) coupe le cercle en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AOT et APB sont semblables.

Évaluer leurs côtés en fonction de $R$.
\item Donner les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle $\widehat{\text{PAB}}$.
\item Soit D le milieu de l'arc $\wideparen{\text{CP}}$ ; (OD) coupe (AP) en M.

Comparer les angles $\widehat{\text{CAP}}$ et $\widehat{\text{COM}}$.

Montrer que le quadrilatère CAOM est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

Évaluer en fonction de $R$ le produit TA $\times$ TM.
\end{enumerate}
\end{document}