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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{septembre 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles-Guyane septembre 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs l'expression
\[A(x) = 4x^2 - 9 +(2x - 3)(x - 5) - (2x - 3)^2.\]

\item Simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{4x^2 - 9 + (2x - 3)(x - 5) - (2x- 3)^2}{x^2 + 2x + 1}.\]

On appellera $F'(x)$ la fraction simplifiée.

Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F'(x)$ est-elle nulle ?

Pour quelle valeur de $x$ est-elle égale à 1 ?

Quelle est la valeur de cette fraction $F'(x)$ si $x = - 1$ ?
\item Les axes étant rectangulaires et l'unité la même sur chaque axe, construire sur un même graphique la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 2x - 3$ et la droite $\left(D_2\right)$ parallèle à la première bissectrice des axes et passant par le point d'abscisse $- 1$ et d'ordonnée nulle.

Déterminer graphiquement et par le calcul les coordonnées du point A commun à ces deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$, et [AB] un de ses diamètres.

On construit le rayon [OC] perpendiculaire à (AB) en O, ainsi que la tangente [B$x$) en B au cercle.

On considère un point M quelconque du segment [OC].

On trace (AM), qui coupe le cercle en N et la tangente [B$x$) en I.

On mène la tangente au cercle en N ; elle coupe [B$x$) en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que OP est la médiatrice du segment B~ et que OP est parallèle à AM.
\item Démontrer que M et P sont les milieux respectifs des côtés [AI] et [IB] du triangle AIB.

Que peut-on en conclure pour le segment [MP] et le quadrilatère AMPO ?
\item On suppose que le point M a été pris sur [OC] tel que l'angle $\widehat{\text{MAO}} = 30\degres$.

Calculer, en fonction du rayon $R$ du cercle, les mesures des segments [BN], [AN], [OM] et [AI].
\end{enumerate}
\end{document}