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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Antilles--Guyane}
\lfoot{\small septembre 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{Les exercices suivants sont indépendants}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit l'expression: $A = 9x^2 - 4 - (2x + 3)(3x + 2)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $9x^2 - 4$.
\item Utiliser ce résultat pour factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 2)(x - 5) = 0$.
\item Développer, réduire et ordonner $A$.
\item Calculer la valeur de $A$ pour $x = 1$ puis pour $x = - \sqrt 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Calculer sous forme fractionnaire les nombres suivants et simplifier si
possible les résultats obtenus:

\[A = 1 + \dfrac76\, \qquad B = \dfrac13 - \dfrac85 \times \dfrac32.\]

\medskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Écrire le nombre suivant sous la forme $a\sqrt{11}$ :

\[D = 5\sqrt{99} + \sqrt{176} - 2\sqrt{11}.\]

\medskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c r}
3x+4y &=&104\\
\phantom{3}x + 2y &=& 43
\end{array}\right.$

\item Sur le marché de  l'étal de \og Toinette \fg, Léon demande 3 kilogrammes de mangues .Julie \fg{} et 4 kilogrammes de papayes. Il paie $104$~F{}.

Toujours à l'étal de \og Toinette \fg, Yvonne demande 1 kilogramme de mangues \og Julie\fg{} et 2 kilogrammes de papayes. Elle paie $43$ F{}.

Quel est le prix d'un kilogramme de mangues \og Julie\fg{} ?

Quel est le prix d'un kilogramme de papayes ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 8$ cm et BC $= 10$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Calculer AC.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{BCA}}$. En déduire une valeur arrondie au degré près 
de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$.
\item Soit le point E sur le segment [AB) tel que BE $= 3$ cm.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par E. Elle coupe le segment [AC) en F.
		\item Calculer AF et EF (on justifiera les calculs).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On rappelle que:

\begin{itemize}
\item le volume du cône est : $V = \dfrac13 B h$, où $B$ est l'aire du disque de
base et $h$ la hauteur du cône,
\item le volume du cylindre est : $V = Bh$, où $B$ est l'aire de la base et $h$
la hauteur du cylindre.
\end{itemize}

\smallskip

Un glacier vend ses glaces soit en cornet, soit en pot cylindrique comme l'indiquent les figures ci-dessous:
(Le cornet a la forme d'un cône surmonté d'un petit cylindre.)

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5,3.2)
%\psgrid
\psellipse(2,2.1)(0.7,0.25)
\psellipticarc(2,1.7)(0.7,0.25){180}{360}
\psline(1.3,2.1)(1.3,1.7)(2,0.1)(2.7,1.7)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.9,0.1)(0.9,1.7)\uput[r](0.9,0.9){\small 9 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.1)(0.5,2.05)\uput[l](0.5,1.075){\small 12 cm}
\psellipse(4.3,2.15)(0.7,0.25)
\psellipticarc(4.3,0.25)(0.7,0.25){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](4.3,0.25)(0.7,0.25){0}{180}
\psline(3.6,2.15)(3.6,0.25)
\psline(5,2.15)(5,0.25)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.3,2.6)(2.7,2.6)\uput[u](2,2.6){\small 5 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,2.6)(5,2.6)\uput[u](4.3,2.6){\small 5 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume du cornet, arrondi à l'unité, est égal à $118$~cm$^3$.
\item À quelle hauteur doit-il remplir le pot pour qu'il y ait le même volume
de glace que dans le cornet ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

On considère le plan d'un appartement: 

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,4)
\psframe(0.8,0.2)(4.8,1.6)%BDCA
\psline(2.7,1.6)(2.7,3.6)(4.8,3.6)%HGF
\psline(4.8,0.2)(5.8,0.2)(4.8,3.6)(4.8,1.6)%DEFC
\psframe(0.8,1.6)(1,1.4)\psframe(0.8,0.2)(1,0.4)\psframe(4.8,0.2)(4.6,0.4)
\psframe(4.8,3.6)(4.6,3.4)\psframe(2.7,3.6)(2.9,3.4)
\uput[ul](0.8,1.6){A} \uput[d](0.8,0.2){B} \uput[ul](4.8,1.6){C} \uput[d](4.8,0.2){D}
\uput[dr](5.8,0.2){E} \uput[u](4.8,3.6){F} \uput[u](2.7,3.6){G} \uput[ul](2.7,1.6){H} 
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,0.2)(0.4,3.6)
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0.4,3.6)(2.7,3.6)
\uput[l](0.4,1.9){7 m} \uput[l](2.7,2.6){4 m} \uput[u](1.75,1.6){4 m} \uput[u](3.75,1.6){$x$} 
\uput[u](5.3,0.2){2 m}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne: AH = 4 m, FD = 7 cm, GH = 4 cm, DE = 2 m.

La longueur en mètres de CH sera notée $x$.

On se propose de comparer les aires des trois pièces : ACDB, FED et GFCH de cet appartement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire $S_1$ du triangle DFE.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, la longueur AC.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, les aires $S_2$ et $S_3$ des rectangles ACDB et GFCH.
	\end{enumerate}
\item  Dans un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques $D_1,\, D_2$ et $D_3$ des applications respectives :

\[f_1(x) = 7 ;\quad  f_2(x) = 3x + 12 \,;\quad f_3(x) = 4x.\]

\emph{On limitera le tracé pour} $x \geqslant 0$.
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de $D_1$ et $D_3$ puis de $D_2$ et $D_3$.
\item Utiliser les représentations graphiques de la question 3 pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $S_3 = S_2$ ?
		
Que vaut alors l'aire commune de ces 2 pièces?
		\item Peut-on avoir $S_1 = S_2 = S_3$ ? Justifier la réponse.
		\item Pour $2 \leqslant x \leqslant 12$, ranger par ordre croissant les trois aires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}