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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}
\rfoot{\L'année 1999}
\lfoot{\small Antilles--Guyane}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer et donner le résultat sous la forme la plus simple possible, en écrivant les étapes du calcul.

\[A = \dfrac57 - \dfrac92 \times  \dfrac13, \quad  B = \dfrac{14}{9} : \dfrac76, \quad  C = \dfrac{5\times 10^{16} \times 2^{12}}{2^{11} \times 10^{18}}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a \sqrt b$ , où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.

\[D= \sqrt6 \times \sqrt{42}, \qquad  E = 2\sqrt{18} - 3\sqrt{50} + 100\sqrt2.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression : $F = (5x - 1)^2 - (7x)(5x - 1)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Chez le fleuriste, un bouquet composé de 5 roses et de 3 glaïeuls coûte $136$ F. 

Un autre bouquet, composé de 2 roses et de 6 glaïeuls, coûte $112$ F.

Calculer le prix d'une rose et celui d'un glaïeul.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un parallélogramme EFGR.
\item Recopier et compléter:

\[\vect{\text{EF}} + \vect{\text{FG}} = \vect{\text{E...}}, \quad  \vect{\text{EF}} + \vect{\text{EH}} = \vect{\text{E...}}\]

\item Construire le point M tel que $\vect{\text{EF}} + \vect{\text{EG}} = \vect{\text{EM}}$.
\item Quelle est l'image du point G dans la translation de vecteur $\vect{\text{EF}}$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle MNP tel que:

MN $= 8$ cm, MP $= 10$ cm et NP $= 7$ cm.

Placer le point Q du segment [MN] tel que MQ $= 3,2$ cm. 

La parallèle à (NP) passant par Q coupe (MP) en R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MR. En déduire PR.
\item Placer le point S du segment [NP] tel que PS $= 4,2$ cm. 

Montrer que les droites (RS) et (MN) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère une pyramide régulière SABCD, de sommet S, dont la
base ABCD est un carré de $8$~cm de côté, et telle que $\widehat{\text{SAC}} = 45\degres$.

[SH] est la hauteur de la pyramide. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AC vaut $8\sqrt2$.
\item Montrer alors que SR vaut $4\sqrt2$.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD, arrondi au cm$^3$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
\psline(2.82,5.7)(0.5,0.5)(4,0.2)(5.2,2.4)(2.82,5.7)%SABCS
\psline[linestyle=dashed](5.2,2.4)(0.5,0.5)(1.7,2.7)(4,0.2)%CADB
\psline[linestyle=dashed](4,0.2)(5.2,2.4)(2.82,5.7)(2.82,1.43)%CDSH
\psline[linestyle=dashed](5.2,2.4)(1.7,2.7)(2.82,5.7)%CDS
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](4,0.2){B} \uput[r](5.2,2.4){C}
\uput[ul](1.7,2.7){D} \uput[ul](2.82,5.7){S} \uput[d](2.82,1.43){H}
\psarc(0.5,0.5){0.5}{25}{68}\rput(1.2,1.1){$45\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal du plan (O, I, J), unité 1 cm, placer les points M(2~;~2) et N$(- 1~;~3)$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{MN}}$ et la distance MN.
\item Déterminer l'équation de la droite (MN).
\item On considère la droite $\Delta$ d'équation: $y = 3x - 4$.

Cette droite coupe l'axe des ordonnées en P et l'axe des abscisses en Q.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver par le calcul les coordonnées des points P et Q.
		\item Montrer que le point M appartient à $\Delta$. Tracer la droite $\Delta$.
		\item Le point E de coordonnées $\left(\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{17}{3}\right)$ appartient-il à $\Delta$ ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire à (MN).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur la figure la droite $\Delta'$, image de la droite $\Delta$ dans
la translation de vecteur $\vect{\text{MN}}$.
		\item Déterminer l'équation de la droite $\Delta'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
