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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges juin 2001}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Antilles}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Antilles-Guyane
 juin 2001 \decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item$A = \dfrac{7}{6}+\dfrac{11}{3}\times\dfrac{5}{4}$.

Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction
irréductible.
\item $B = \dfrac{3 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-2}}{8 \times 10^4}$.

Donner l'écriture décimale, puis l'écriture scientifique de $B$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 2}}

\medskip

\[C = (3x - 1)^2 - 4x(3x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Calculer $C$ pour $x = 0$ ; pour $x = \sqrt2$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation $(3x - 1)(x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 3}}

\medskip

\par Une marchande vend des mangues et des ignames :
\begin{itemize}
\item Madame FRUIT achète 6~kg de mangues et 2~kg d'ignames pour
 14~\euro.
\item Madame LEGUME achète 3~kg de mangues et 8~kg d'ignames
 pour 24,50~\euro.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Écrire un système d'équations traduisant les données.
\item Résoudre le système pour trouver le prix de 1~kg de mangues
  et celui de 1~kg d'ignames.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 1}}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.5)
\pspolygon(0.3,1.5)(4.3,0.3)(2,3.3)(0.3,3.3)
\uput[dl](0.3,1.5){A}\uput[dr](4.3,0.3){D}\uput[ur](2,3.3){C}\uput[ul](0.3,3.3){B}
\psframe(0.3,3.1)(0.5,3.3)
\end{pspicture}}
\hfill \parbox{0.59\linewidth}{Sur la figure suivante (les unités ne
sont pas respectées), on a :

$\widehat{\text{ABC}}$ est un angle droit ; AD = 10\,cm ; CD = 8\,cm;
AB = 3,6\,cm; et BC = 4,8\,cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure en grandeur réelle.
\item Calcule la tangente de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.

En déduire une valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{BAC}}$.
\item Calculer la longueur AC et montrer que le triangle ACD est rectangle.
\item Montrer que le triangle ABC est une réduction du triangle ACD dont on précisera le coefficient de réduction.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
%\psgrid
\psline(0,0.3)(7,0.3)\psline(0,3.2)(7,3.2)
\psline(0.5,3.2)(3.2,0.3)
\psline(1.5,0.3)(3,3.2)
\uput[u](0.5,3.2){A} \uput[u](3,3.2){B} \uput[d](1.5,0.3){C} 
\uput[d](3.2,0.3){D} \uput[d](6,0.3){E} \uput[r](2.1,1.48){M}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6,0.3) 
\end{pspicture}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{Sur la figure, la droite (AB) est parallèle à la droite (CD) et les longueurs en cm sont 

MA = 5, MB = 3,75, MC = 3, CD = 6, DE = 7,5.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs MD et AB.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DE}}$ sont
  égaux. En déduire que les droites (AD) et (BE) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 3}}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(2,7)
%\psgrid
%\rput(0,0){\pstEllipse[linestyle=dashed]{1.5}{0.25}{0}{180}}
%\rput(0,0){\pstEllipse{1.5}{0.25}{-180}{0}}
%\rput(0,5){\pstEllipse[linestyle=dashed]{1.5}{0.25}{0}{180}}
%\rput(0,5){\pstEllipse{1.5}{0.25}{-180}{0}}
\psellipticarc(0,5)(1.5,0.5){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,5)(1.5,0.5){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(1.5,0.5){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.5,0.5){0}{180}
\psline(-1.5,0)(-1.5,5)\psline(1.5,0)(1.5,5)
\psarc(0,5){1.5}{0}{180}
\psline{<->}(1.7,5)(1.7,0)\rput{90}(1.9,2.5){8\,cm}
\psline{<->}(-1.5,5)(0,5)\uput[u](-0.75,5){3\,cm}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.68\linewidth}{Une boîte est formée d'un cylindre de
hauteur $8$\,cm, surmontée d'une demi-sphère de rayon $3$\,cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $\cal V$ de la boîte en cm$^3$ (on donnera
 une valeur approchée au mm$^3$).
\item Cette boîte est agrandie avec un coefficient $k = 2$. Calculer le
 volume ${\cal V}'$ de la boîte agrandie. (Pour les calculs, on
 prendra 

$\pi\approx3,14$.)
\end{enumerate}
}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de
longueur est le centimètre. On utilisera une feuille de papier
millimétré pour la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les points M$(1~;~-2)$; N(2~;~1) et P(5~;~0).
\item Montrer que, en cm, MN $=\sqrt{10}$, NP $=\sqrt{10}$ et
 MP $= 2\sqrt5$.
\item En déduire que le triangle MNP est rectangle et isocèle en
  N.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit K le centre du cercle $(\Gamma)$ circonscrit au triangle
 MNP. Calculer les coordonnées de K et construire K.
		\item Montrer que le rayon $r$ du cercle $(\Gamma)$ est égal à $\sqrt5$~cm.
	\end{enumerate}
\item Construire l'image du triangle MNP dans la rotation de centre
 N, d'angle 90\degres\ qui va dans le sens inverse des aiguilles d'une
 montre. On notera A, B, C les images respectives des points
 M, N et P.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle $(\Gamma)$.\par Construire le point
 D$(2~;~-3)$ et montrer que le point D appartient au cercle
 $(\Gamma)$.
		\item Montrer que $\widehat{\text{NDP}} = \widehat{\text{NMP}} = 45$\degres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}