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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{juin 2005}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 2005 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On fera apparaître les étapes de chaque calcul.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A $= \dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{10}}{\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{5}}$ sous la forme d'une fraction irréductible.	
\item Calculer B $= 5^3 - \left(2^4 + 7,5\right)^2$.
\item Montrer que C $= \left(3 - 4\sqrt{5}\right)\left(3 + 4\sqrt{5}\right)$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 	
\begin{enumerate}
\item Les nombres \nombre{1540} et 693 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
\item Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{\nombre{1540}}{693}$.
							
On fera apparaître la méthode utilisée.
\end{enumerate}							
							
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
	
Les notes de mathématiques obtenues par les 150 élèves d'un collège lors d'un brevet blanc sont réparties dans le tableau ci-dessous :
							
\medskip
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline				Note $n$		&$0 \leqslant n < 8$&$8 \leqslant n < 16$&$16\leqslant n < 24$&$24 \leqslant n < 32$&$32 \leqslant n \leqslant 40$\\\hline
Nombre d'élèves	&	14	&	$N$	&	55	&	20	&	9\\\hline
\end{tabularx}}
\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $N$.							
\item Combien d'élèves ont obtenu moins de 24 ?							
\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu au moins 24 ?							
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}
							
\bigskip

\textbf{Exercice 1}	

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle de centre O et de diamètre AB~=~11~cm.

Soit C un point de ce cercle tel que BC = 6,6 cm.
\item Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.
\item Calculer la distance AC.
\item Déterminer la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire.}

ABC est un triangle tel AB = 6 cm, AC = 7,2 cm et BC~=~10~cm. Les points R et E appartiennent à la droite (AB), le point T appartient à la droite (AC). Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. On donne AR = 4,5~cm et BE = 2~cm.

\medskip

\begin{pspicture}(12,7.5)
\pspolygon(4.7,6.9)(1.7,2.5)(8.7,5)%ATR
\psline(0,0)(0.7,1)(10,4.3)(12,3.3)%xCBE
\psline(0.7,1)(1.7,2.5)%CT
\psline(8.7,5)(10,4.3)%RB
\uput[u](4.7,6.9){A} \uput[ul](1.7,2.5){T} \uput[ur](8.7,5){R}
\uput[ul](0.7,1){C} \uput[ur](10,4.3){B}
\uput[ur](11.8,3.4){E} \rput(11.8,3.4){$\times$}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AT, TR et AE.
\item Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On considère les points A(3~;~1), B$(2~;~ -2)$ et C$(-6~;~ 4)$.

\bigskip

\textbf{Partie I} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le repère.
\item On considère la fonction affine $f~:~ x \longmapsto  mx+p$ dont la représentation graphique est la droite (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images de 2 et de 3 par la fonction $f$. 
		\item Déterminer les valeurs de $m$ et $p$ de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AC $= 3\sqrt{10}$.
\item On donne AB $= \sqrt{10}$ et BC = 10.

Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.	
\item Construire le point D image de C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
	
Déterminer graphiquement les coordonnées du point D.	
\item Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.	
\item On considère le cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au rectangle ABDC.
	
Déterminer les coordonnées de son centre puis construire $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document} 